Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2013 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. [2,5 puntos] Determina el punto de la recta

r \equiv \dfrac{x-1}{3} = \dfrac{y}{2} = z+1

que equidista de los planos

\pi_{1} \equiv x-y+3z+2 = 0 \qquad \text{y} \qquad \pi_{2} \equiv \begin{cases} x = -4+\lambda-3\mu \\ y = \phantom{-}1+\lambda \\ z = \phantom{-4+\lambda-3}\mu\end{cases}

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Resultado

\boxed{\;Q(t) = (1+3t,\, 2t,\, -1+t); \qquad \vec{n_{2}} = \vec{v_{1}}\times\vec{v_{2}} = (1,-1,3)\;}

\boxed{\;\pi_{2} \equiv x-y+3z+5 = 0 \quad (\text{paralelo a } \pi_{1})\;}

\boxed{\;\lvert 4t\rvert = \lvert 4t+3\rvert \;\Longrightarrow\; 4t = -(4t+3) \;\Longrightarrow\; t = -\frac38\;}

\boxed{\;Q = \left(-\tfrac18,\; -\tfrac34,\; -\tfrac{11}{8}\right), \quad \text{a distancia } \tfrac{3\sqrt{11}}{22} \text{ de ambos}\;}

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Estrategia

Tres pasos:

Escribir $r$ en paramétricas para tener un punto genérico $Q(t)$ .
Pasar $\pi_{2}$ a ecuación general (su normal es el producto vectorial de sus dos directores).
Imponer $d(Q,\pi_{1}) = d(Q,\pi_{2})$ .

Aquí se da una simplificación notable: los dos planos resultan paralelos (mismo normal), así que los denominadores de las dos distancias son iguales y se cancelan.

Desarrollo

1. La recta en paramétricas. De

\dfrac{x-1}{3} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z+1}{1}

Q(t) = \bigl(1+3t,\; 2t,\; -1+t\bigr)

2. El plano $\pi_{2}$ en general. Pasa por

P_{2}(-4,1,0)

con directores

\vec{v_{1}} = (1,1,0)

\vec{v_{2}} = (-3,0,1)

\vec{n_{2}} = \vec{v_{1}}\times\vec{v_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 1\end{array}\right|

\vec{i}: (1)(1)-(0)(0) = 1 \qquad \vec{j}: -\bigl[(1)(1)-(0)(-3)\bigr] = -1 \qquad \vec{k}: (1)(0)-(1)(-3) = 3

\vec{n_{2}} = (1,\, -1,\, 3)

Imponiendo que pase por

P_{2}(-4,1,0)

-4-1+0+D = 0 \;\Longrightarrow\; D = 5 \qquad\Longrightarrow\qquad \pi_{2} \equiv x-y+3z+5 = 0

\textbf{Los dos planos son paralelos} \quad (\text{normal común } (1,-1,3))

3. Las distancias. Para el punto genérico:

x-y+3z = (1+3t)-2t+3(-1+t) = 1+3t-2t-3+3t = 4t-2

d(Q,\pi_{1}) = \frac{\lvert 4t-2+2\rvert}{\sqrt{11}} = \frac{\lvert 4t\rvert}{\sqrt{11}} \qquad d(Q,\pi_{2}) = \frac{\lvert 4t-2+5\rvert}{\sqrt{11}} = \frac{\lvert 4t+3\rvert}{\sqrt{11}}

(El módulo del normal es $\sqrt{1+1+9} = \sqrt{11}$ en los dos casos.)

Igualando (los

\sqrt{11}

se cancelan):

\lvert 4t\rvert = \lvert 4t+3\rvert

Dos casos:

$4t = 4t+3 \Rightarrow 0 = 3$ : imposible (era de esperar: planos paralelos distintos).
$4t = -(4t+3) \Rightarrow 8t = -3 \Rightarrow t = -\dfrac38$ .

El punto.

Q = \left(1-\frac98,\; -\frac68,\; -1-\frac38\right) = \left(-\frac18,\; -\frac34,\; -\frac{11}{8}\right)

Comprobación. En

Q

\;x-y+3z = 4\left(-\frac38\right)-2 = -\frac32-2 = -\frac72

d(Q,\pi_{1}) = \frac{\left\lvert-\frac72+2\right\rvert}{\sqrt{11}} = \frac{3/2}{\sqrt{11}} \qquad d(Q,\pi_{2}) = \frac{\left\lvert-\frac72+5\right\rvert}{\sqrt{11}} = \frac{3/2}{\sqrt{11}} \;\checkmark

d = \frac{3}{2\sqrt{11}} = \frac{3\sqrt{11}}{22} \approx 0{,}45

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Consejo

Pasa $\pi_{2}$ a ecuación general antes de nada: la fórmula de la distancia punto-plano necesita $Ax+By+Cz+D$ , y de las paramétricas no se lee directamente.

Detectar que los dos planos son paralelos simplifica mucho: los denominadores coinciden y la ecuación se reduce a igualar los numeradores.

Al quitar valores absolutos hay dos casos, y aquí uno es imposible. Si los planos se cortasen, cada caso daría uno de los dos planos bisectores y, en general, habría dos puntos de la recta que equidistan.