Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2016 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. [2,5 puntos] Determina el punto de la recta

r \equiv \dfrac{x-1}{2} = y+1 = \dfrac{z}{3}

que equidista de los planos

\pi \equiv x+y+z+3 = 0 \qquad \text{y} \qquad \pi' \equiv \begin{cases} x = -3+\lambda \\ y = -\lambda+\mu \\ z = -6-\mu\end{cases}

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Resultado

\boxed{\;Q(t) = (1+2t,\, -1+t,\, 3t); \qquad \pi' \equiv x+y+z+9 = 0 \ \ (\text{paralelo a } \pi)\;}

\boxed{\;\frac{\lvert 6t+3\rvert}{\sqrt3} = \frac{\lvert 6t+9\rvert}{\sqrt3} \;\Longrightarrow\; 6t+3 = -(6t+9) \;\Longrightarrow\; t = -1\;}

\boxed{\;Q = (-1,\, -2,\, -3), \quad \text{a distancia } \sqrt{3} \text{ de ambos planos}\;}

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Estrategia

Tres pasos:

Escribir la recta en paramétricas, para tener un punto genérico $Q(t)$ .
Pasar $\pi'$ a ecuación general (su normal es el producto vectorial de sus dos directores).
Imponer $d(Q,\pi) = d(Q,\pi')$ con la fórmula de la distancia punto-plano.

Un detalle que simplifica mucho el cálculo: los dos planos resultan ser paralelos (mismo normal), así que los denominadores de las dos distancias son iguales y se cancelan.

Desarrollo

1. La recta en paramétricas. De

\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+1}{1} = \dfrac{z}{3}

: punto

(1,-1,0)

, director

\vec{u} = (2,1,3)

Q(t) = \bigl(1+2t,\; -1+t,\; 3t\bigr)

2. El plano $\pi'$ en general. Pasa por

(-3,0,-6)

con directores

\vec{d_{1}} = (1,-1,0)

\vec{d_{2}} = (0,1,-1)

\vec{n'} = \vec{d_{1}}\times\vec{d_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1\end{array}\right| = \bigl(1,\; 1,\; 1\bigr)

\vec{i}: (-1)(-1)-0\cdot 1 = 1 \qquad \vec{j}: -\bigl[1\cdot(-1) - 0\cdot 0\bigr] = 1 \qquad \vec{k}: 1\cdot 1 - (-1)\cdot 0 = 1

Imponiendo que pase por

(-3,0,-6)

-3 + 0 - 6 + d = 0 \;\Longrightarrow\; d = 9 \qquad\Longrightarrow\qquad \pi' \equiv x+y+z+9 = 0

\textbf{Los dos planos son paralelos} \quad (\text{mismo normal } (1,1,1))

3. Las distancias. Para el punto genérico,

x+y+z = (1+2t)+(-1+t)+3t = 6t

d(Q,\pi) = \frac{\lvert 6t+3\rvert}{\sqrt{3}} \qquad d(Q,\pi') = \frac{\lvert 6t+9\rvert}{\sqrt{3}}

Igualando (los

\sqrt3

se cancelan):

\lvert 6t+3\rvert = \lvert 6t+9\rvert

Dos casos:

$6t+3 = 6t+9 \;\Longrightarrow\; 3 = 9$ : imposible (era de esperar: los planos son paralelos y distintos).
$6t+3 = -(6t+9) \;\Longrightarrow\; 12t = -12 \;\Longrightarrow\; t = -1$ .

El punto.

Q(-1) = \bigl(1-2,\; -1-1,\; -3\bigr) = (-1,\, -2,\, -3)

Comprobación. En

Q

\;x+y+z = -6

d(Q,\pi) = \frac{\lvert -6+3\rvert}{\sqrt3} = \frac{3}{\sqrt3} = \sqrt3 \qquad d(Q,\pi') = \frac{\lvert -6+9\rvert}{\sqrt3} = \frac{3}{\sqrt3} = \sqrt3 \quad \checkmark

(Tiene sentido: $Q$ es el punto de $r$ que cae en el plano medio entre $\pi$ y $\pi'$ , que es $x+y+z+6=0$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Antes de calcular nada, pasa $\pi'$ a ecuación general: la fórmula de la distancia punto-plano necesita $Ax+By+Cz+D$ . El normal sale del producto vectorial de los dos directores.

Al quitar los valores absolutos hay dos casos. Aquí el primero es imposible porque los planos son paralelos y distintos; si los planos se cortasen, ese caso daría el otro plano bisector y habría dos soluciones.

Comprueba siempre el punto final sustituyéndolo en las dos distancias. Es un cálculo de diez segundos que detecta cualquier error de signo en el camino.