Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2023 · Julio

Enunciado

Ejercicio 7 (bloque B). Considera los planos

\pi_{1} \equiv x - y + z = 0

\pi_{2} \equiv x + y = 2

.

a) [1,5 puntos] Calcula la distancia entre la recta intersección de

\pi_{1}

\pi_{2}

y el punto

P(2, 6, -2)

.

b) [1 punto] Halla el ángulo que forman

\pi_{1}

\pi_{2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad r \equiv (1,1,0) + t\,(-1,1,2), \qquad d(P, r) = \sqrt{30} \approx 5{,}48\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \alpha = 90^{\circ}: \text{ los planos } \pi_{1} \text{ y } \pi_{2} \text{ son perpendiculares}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados se apoyan en los vectores normales

\vec{n}_{1} = (1,-1,1)

\vec{n}_{2} = (1,1,0)

.

Para a) hay que pasar la recta de forma implícita (como intersección de dos planos) a forma paramétrica: el director es

\vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2}

y un punto se obtiene dando un valor a una de las variables. Después, fórmula de la distancia punto-recta.

Para b) basta el ángulo entre las normales, con la fórmula del coseno y valor absoluto en el numerador, porque el ángulo entre planos se toma siempre agudo. Aquí el resultado es especialmente limpio.

Desarrollo

Vector director de la recta $r = \pi_{1} \cap \pi_{2}$ .

\vec{d} = \vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right| = \bigl(-1\cdot 0 - 1\cdot 1\bigr)\vec{i} - \bigl(1\cdot 0 - 1\cdot 1\bigr)\vec{j} + \bigl(1 + 1\bigr)\vec{k} = (-1, 1, 2)

Como

\vec{d} \neq \vec{0}

, los planos se cortan efectivamente en una recta.

Un punto de la recta. Haciendo

z = 0

en el sistema:

\begin{cases} x - y = 0 \\ x + y = 2 \end{cases} \;\Longrightarrow\; x = y = 1 \;\Longrightarrow\; R(1, 1, 0)

a) Distancia del punto a la recta.

\vec{RP} = P - R = (1, 5, -2)

\vec{RP} \times \vec{d} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 5 & -2 \\ -1 & 1 & 2 \end{array}\right| = \bigl(10 + 2\bigr)\vec{i} - \bigl(2 - 2\bigr)\vec{j} + \bigl(1 + 5\bigr)\vec{k} = (12, 0, 6)

\bigl\lVert \vec{RP} \times \vec{d} \bigr\rVert = \sqrt{144 + 0 + 36} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}, \qquad \bigl\lVert \vec{d} \bigr\rVert = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}

d(P, r) = \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\cdot\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{6\sqrt{30}}{6} = \sqrt{30} \approx 5{,}48 \ \text{unidades}

b) Ángulo entre los planos.

\cos\alpha = \frac{\bigl|\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2}\bigr|}{\bigl\lVert\vec{n}_{1}\bigr\rVert\,\bigl\lVert\vec{n}_{2}\bigr\rVert} = \frac{\bigl|1\cdot 1 + (-1)\cdot 1 + 1\cdot 0\bigr|}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}} = \frac{|1 - 1 + 0|}{\sqrt{6}} = \frac{0}{\sqrt{6}} = 0

\alpha = \arccos(0) = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}

Los dos planos son perpendiculares.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Es la distancia de un punto a una recta, no de un punto a un plano. Si aplicas por inercia la fórmula $|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|/\lVert\vec{n}\rVert$ estás midiendo otra cosa. La recta necesita punto y vector director: sácalos antes de nada.

En b), el numerador va en valor absoluto. El ángulo entre dos planos se define como el agudo, así que un producto escalar negativo no significa un ángulo obtuso: significa que las normales apuntan "al revés" y hay que quedarse con el valor absoluto. Que aquí salga exactamente $0$ (planos perpendiculares) es una buena señal de que los cálculos van bien.