Opción B · Ejercicio 4. Sea la recta r dada por r \equiv \begin{cases} 2x+y-m z = 2 \\ x-y-z = -m\end{cases} y el plano \pi definido por \;x+m y-z = 1. a) [1 punto] ¿Existe algún valor de m para el que \pi y r son paralelos? b) [1 punto] ¿Para qué valor de m está la recta contenida en el plano? c) [0,5 puntos] ¿Cuál es la posición relativa de la recta y el plano cuando m = 0?

Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2008 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Sea la recta

r

dada por

r \equiv \begin{cases} 2x+y-m z = 2 \\ x-y-z = -m\end{cases}

y el plano

\pi

definido por

\;x+m y-z = 1

.

a) [1 punto] ¿Existe algún valor de

m

para el que

\pi

r

son paralelos?

b) [1 punto] ¿Para qué valor de

m

está la recta contenida en el plano?

c) [0,5 puntos] ¿Cuál es la posición relativa de la recta y el plano cuando

m = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec u = (-1-m,\; 2-m,\; -3), \qquad \vec{n_{\pi}} = (1,m,-1)\;}

\boxed{\;\vec u\cdot\vec{n_{\pi}} = -m^{2}+m+2 = 0 \iff m = 2 \ \text{o} \ m = -1\;}

\boxed{\;\text{a) } m = 2 \ \text{(paralela)}; \qquad \text{b) } m = -1 \ \text{(contenida)}\;}

\boxed{\;\text{c) } m = 0: \ \vec u\cdot\vec{n_{\pi}} = 2 \neq 0 \Rightarrow \text{secantes en } \left(\tfrac12,1,-\tfrac12\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo se decide con un producto escalar y un punto:

\vec u\cdot\vec{n_{\pi}} = 0 \;\Longleftrightarrow\; r \text{ es paralela a } \pi \text{ o está contenida en él}

Después, para separar los dos casos, se comprueba si un punto de $r$ cumple la ecuación del plano:

lo cumple $\Rightarrow$ contenida,
no lo cumple $\Rightarrow$ paralela (estricta).

Y si

\vec u\cdot\vec{n_{\pi}} \neq 0

, la recta corta al plano.

Desarrollo

El director de $r$ . Con

\vec{n_{1}} = (2,1,-m)

\vec{n_{2}} = (1,-1,-1)

\vec u = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & 1 & -m \\ 1 & -1 & -1\end{array}\right|

\vec i: (1)(-1)-(-m)(-1) = -1-m

\vec j: -\bigl[(2)(-1)-(-m)(1)\bigr] = -(-2+m) = 2-m

\vec k: (2)(-1)-(1)(1) = -3

\vec u = (-1-m,\; 2-m,\; -3) \qquad \vec{n_{\pi}} = (1,\, m,\, -1)

El producto escalar.

\vec u\cdot\vec{n_{\pi}} = (-1-m)(1)+(2-m)(m)+(-3)(-1)

= -1-m+2m-m^{2}+3 = -m^{2}+m+2 = -\,(m-2)(m+1)

\vec u\cdot\vec{n_{\pi}} = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 2 \quad \text{o} \quad m = -1

Ahora distinguimos los dos casos.

Caso $m = 2$ . La recta es

\;2x+y-2z = 2

\;x-y-z = -2

. Sumando:

3x-3z = 0 \Rightarrow x = z

; con

z=0

queda

x=0

y = 2

P(0,\,2,\,0)\in r

En el plano

\pi\colon x+2y-z = 1

0+4-0 = 4 \neq 1

\textbf{Paralela y NO contenida}

Caso $m = -1$ . El plano es

\;x-y-z = 1

, que es exactamente la segunda ecuación de

r

(con

-m = 1

r \equiv \begin{cases} 2x+y+z = 2 \\ x-y-z = 1\end{cases}

\textbf{La recta está contenida en el plano}

(Comprobación con el punto $(1,0,0)\in r$ : $\;1-0-0 = 1$ $\checkmark$ )

a) Respuesta. Sí: $m = 2$ hace que

\pi

r

sean paralelos (sin puntos comunes).

b) Respuesta. $m = -1$ : la recta queda contenida en el plano.

c) El caso $m = 0$ .

\vec u = (-1,\, 2,\, -3) \qquad \vec{n_{\pi}} = (1,\, 0,\, -1)

\vec u\cdot\vec{n_{\pi}} = -1+0+3 = 2 \neq 0

\textbf{La recta corta al plano: son secantes}

El punto de corte. Con

m=0

\;2x+y = 2 \Rightarrow y = 2-2x

; y

\;x-y-z = 0 \Rightarrow z = x-y = 3x-2

. Con

x = t

r \equiv (t,\; 2-2t,\; 3t-2)

\pi\colon x-z = 1

t-(3t-2) = -2t+2 = 1 \;\Longrightarrow\; t = \frac12

\text{Punto de corte: } \left(\frac12,\; 1,\; -\frac12\right)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$\vec u\cdot\vec n = 0$ no distingue entre "paralela" y "contenida": hay que comprobar además si un punto de la recta está en el plano. Ese es el corazón del ejercicio.

Con $m = -1$ , el plano coincide con una de las ecuaciones que definen $r$ : eso demuestra la inclusión de un vistazo, sin calcular nada.

En c), cuando el producto escalar no se anula, la recta corta al plano en un punto. Merece la pena calcularlo: da una respuesta completa por el mismo esfuerzo.