Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2023 · Junio

Enunciado

Ejercicio 7 (bloque B). El plano perpendicular al segmento de extremos

P(0,3,8)

Q(2,1,6)

que pasa por su punto medio corta a los ejes coordenados en los puntos

A

B

C

. Halla el área del triángulo cuyos vértices son los puntos

A

B

C

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\pi \equiv x - y - z + 8 = 0, \qquad A(-8,0,0),\; B(0,8,0),\; C(0,0,8)\;}

\boxed{\;\text{Área} = 32\sqrt{3} \approx 55{,}43 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El plano que se describe es el plano mediador (o mediatriz) del segmento

PQ

: pasa por el punto medio y tiene como vector normal el propio

\vec{PQ}

. Con esos dos datos la ecuación sale en una línea.

Después, "cortar a los ejes coordenados" significa hacer

y = z = 0

x = z = 0

x = y = 0

: se obtienen los tres puntos de corte con los ejes, que son directamente los denominadores de la ecuación segmentaria.

Y el área del triángulo es la mitad del módulo de un producto vectorial. Nada más.

Desarrollo

Punto medio y vector normal.

M = \frac{P + Q}{2} = \left(\frac{0+2}{2}, \frac{3+1}{2}, \frac{8+6}{2}\right) = (1, 2, 7)

\vec{n} = \vec{PQ} = Q - P = (2, -2, -2)

Como cualquier múltiplo sirve de normal, tomamos

\vec{n} = (1, -1, -1)

dividiendo entre

2

.

Ecuación del plano.

1(x - 1) - 1(y - 2) - 1(z - 7) = 0 \;\Longrightarrow\; x - y - z + 8 = 0

(Comprobación: $M(1,2,7)$ da $1 - 2 - 7 + 8 = 0$ . Y como el plano es mediador, $P$ y $Q$ deben quedar a la misma distancia y en lados opuestos: $P \to 0 - 3 - 8 + 8 = -3$ y $Q \to 2 - 1 - 6 + 8 = 3$ . Efectivamente, valores opuestos.)

Cortes con los ejes.

Eje $OX$ ( $y = z = 0$ ): $x + 8 = 0 \Longrightarrow A(-8, 0, 0)$
Eje $OY$ ( $x = z = 0$ ): $-y + 8 = 0 \Longrightarrow B(0, 8, 0)$
Eje $OZ$ ( $x = y = 0$ ): $-z + 8 = 0 \Longrightarrow C(0, 0, 8)$

(Se ve de golpe pasando el plano a forma segmentaria: $\dfrac{x}{-8} + \dfrac{y}{8} + \dfrac{z}{8} = 1$ .)

Área del triángulo $ABC$ .

\vec{AB} = B - A = (8, 8, 0), \qquad \vec{AC} = C - A = (8, 0, 8)

\vec{AB} \times \vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 8 & 8 & 0 \\ 8 & 0 & 8 \end{array}\right| = (8\cdot 8 - 0\cdot 0)\vec{i} - (8\cdot 8 - 0\cdot 8)\vec{j} + (0 - 64)\vec{k} = (64, -64, -64)

\bigl\lVert \vec{AB} \times \vec{AC} \bigr\rVert = 64\sqrt{1 + 1 + 1} = 64\sqrt{3}

\text{Área} = \frac{1}{2}\bigl\lVert \vec{AB} \times \vec{AC} \bigr\rVert = 32\sqrt{3} \approx 55{,}43 \ \text{unidades cuadradas}

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Consejo

"Plano perpendicular a un segmento por su punto medio" es el plano mediador: el vector normal es $\vec{PQ}$ y el punto es el punto medio. No hace falta imponer $d(X,P) = d(X,Q)$ y desarrollar los cuadrados; con la normal y un punto se acaba en dos líneas.

Al cortar con los ejes, no confundas "corte con el eje $OX$ " con "corte con el plano $OXY$ ". Cortar con un eje obliga a anular las otras dos coordenadas. El signo negativo de $A(-8,0,0)$ es correcto y no hay que corregirlo: el plano corta al eje $OX$ en su parte negativa.