Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2015 · Reserva 5 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Sean el punto

P(1,6,-2)

y la recta

r \equiv \dfrac{x-5}{6} = \dfrac{y+1}{-3} = \dfrac{z}{2}

.

a) [1 punto] Halla la ecuación general del plano

\pi

que contiene al punto

P

y a la recta

r

.

b) [1,5 puntos] Calcula la distancia entre el punto

P

y la recta

r

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A(5,-1,0), \quad \vec{u} = (6,-3,2), \quad \vec{AP} = (-4,7,-2)\;}

\boxed{\;\vec{AP}\times\vec{u} = (8,-4,-30) \sim (4,-2,-15)\;}

\boxed{\;\text{a) } 4(x-5)-2(y+1)-15z = 0 \;\Longrightarrow\; 4x-2y-15z-22 = 0\;}

\boxed{\;\text{b) } d(P,r) = \frac{\lVert(8,-4,-30)\rVert}{\lVert(6,-3,2)\rVert} = \frac{14\sqrt5}{7} = 2\sqrt5\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados se resuelven con el mismo producto vectorial, así que conviene calcularlo una sola vez.

Con

A

un punto de

r

\vec{u}

su director:

a) El plano contiene a $r$ y a $P$ , luego contiene las direcciones $\vec{u}$ y $\vec{AP}$ . Su normal es $\;\vec{n} = \vec{AP}\times\vec{u}$ .
b) Fórmula de la distancia punto-recta:

d(P,r) = \frac{\bigl\lVert\vec{AP}\times\vec{u}\bigr\rVert}{\lVert\vec{u}\rVert}

Desarrollo

Datos de la recta. De la ecuación continua:

A(5,\,-1,\,0), \qquad \vec{u} = (6,\, -3,\, 2)

El vector $\vec{AP}$ .

\vec{AP} = (1-5,\; 6+1,\; -2-0) = (-4,\, 7,\, -2)

(Si $P$ estuviera en $r$ , este vector sería proporcional a $\vec{u}$ ; no lo es, así que el problema tiene sentido.)

El producto vectorial.

\vec{AP}\times\vec{u} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 7 & -2 \\ 6 & -3 & 2\end{array}\right|

\vec{i}: (7)(2)-(-2)(-3) = 14-6 = 8

\vec{j}: -\bigl[(-4)(2)-(-2)(6)\bigr] = -\bigl[-8+12\bigr] = -4

\vec{k}: (-4)(-3)-(7)(6) = 12-42 = -30

\vec{AP}\times\vec{u} = (8,\, -4,\, -30) \;\sim\; (4,\, -2,\, -15)

a) El plano. Con normal

\vec{n} = (4,-2,-15)

y pasando por

A(5,-1,0)

4(x-5)-2(y+1)-15(z-0) = 0 \;\Longrightarrow\; 4x-2y-15z-22 = 0

Comprobaciones.

P(1,6,-2): \quad 4-12+30-22 = 0 \;\checkmark

\vec{u}\cdot\vec{n} = 24+6-30 = 0 \;\checkmark \quad (\text{la recta es paralela al plano y, con } A\in\pi, \text{ está contenida})

b) La distancia.

\bigl\lVert\vec{AP}\times\vec{u}\bigr\rVert = \sqrt{64+16+900} = \sqrt{980} = 14\sqrt5

\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{36+9+4} = \sqrt{49} = 7

d(P,r) = \frac{14\sqrt5}{7} = 2\sqrt5 \approx 4{,}47

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Calcula $\vec{AP}\times\vec{u}$ una sola vez: su dirección es el normal del plano de a) y su módulo entra en la distancia de b). Es el mismo trabajo para los dos apartados.

Puedes simplificar el normal dividiendo por $2$ ( $(8,-4,-30)\to(4,-2,-15)$ ), pero no para la distancia: ahí hace falta el módulo del vector original. Es un despiste que cuesta puntos.

Verifica el plano con las dos condiciones: que $P$ lo cumpla y que $\vec{u}\cdot\vec{n} = 0$ con $A$ en él. Si ambas se cumplen, el plano es el correcto.