Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Vectores y ángulos

Andalucía · 2017 · Junio · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera los vectores

\vec{u} = (1,0,1)

\vec{v} = (0,2,1)

\vec{w} = (m,1,n)

.

a) [1,25 puntos] Halla

m

n

sabiendo que

\vec{u}

\vec{v}

\vec{w}

son linealmente dependientes y que

\vec{w}

es ortogonal a

\vec{u}

.

b) [1,25 puntos] Para

n = 1

, halla los valores de

m

para que el tetraedro determinado por

\vec{u}

\vec{v}

\vec{w}

tenga volumen

10

unidades cúbicas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{w}\bigr] = 2n - 2m - 1\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \begin{cases} 2n - 2m - 1 = 0 \\ m + n = 0\end{cases} \;\Longrightarrow\; m = -\tfrac14, \quad n = \tfrac14\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad V = \tfrac16|1-2m| = 10 \;\Longrightarrow\; m = -\tfrac{59}{2} \text{ o } m = \tfrac{61}{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados giran alrededor del producto mixto

\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{w}\bigr]

, pero lo usan de forma opuesta:

En a) se le impone que valga cero (dependencia lineal), junto con la ortogonalidad $\vec{w}\cdot\vec{u} = 0$ : sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
En b) se le impone un valor concreto, porque el volumen del tetraedro es $\tfrac16$ del valor absoluto del mixto. Al haber valor absoluto habrá dos soluciones.

Conviene calcular el mixto una sola vez, dejándolo en función de

m

n

Desarrollo

El producto mixto.

\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{w}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ m & 1 & n\end{array}\right|

Desarrollando por la primera fila:

= 1\,\bigl(2n - 1\bigr) - 0 + 1\,\bigl(0 - 2m\bigr) = 2n - 2m - 1

a) Las dos condiciones.

Dependencia lineal

\Longleftrightarrow

el mixto se anula:

2n - 2m - 1 = 0

Ortogonalidad de $\vec{w}$ con $\vec{u}$ :

\vec{w}\cdot\vec{u} = m\cdot 1 + 1\cdot 0 + n\cdot 1 = m + n = 0 \;\Longrightarrow\; n = -m

Sustituyendo:

2(-m) - 2m - 1 = 0 \;\Longrightarrow\; -4m = 1 \;\Longrightarrow\; m = -\frac{1}{4}, \qquad n = \frac{1}{4}

(Comprobación: $\vec{w} = \left(-\tfrac14, 1, \tfrac14\right)$ ; el mixto vale $\tfrac12 + \tfrac12 - 1 = 0\;\checkmark$ y $\vec{w}\cdot\vec{u} = -\tfrac14 + \tfrac14 = 0\;\checkmark$ )

b) Caso $n = 1$ . El mixto queda

\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{w}\bigr] = 2 - 2m - 1 = 1 - 2m

Volumen del tetraedro.

V = \frac{1}{6}\bigl|1 - 2m\bigr| = 10 \;\Longrightarrow\; |1 - 2m| = 60

Caso 1:

\;1 - 2m = 60 \Longrightarrow -2m = 59 \Longrightarrow m = -\dfrac{59}{2}

Caso 2:

\;1 - 2m = -60 \Longrightarrow -2m = -61 \Longrightarrow m = \dfrac{61}{2}

m = -\frac{59}{2} \qquad \text{o} \qquad m = \frac{61}{2}

Comprobación. Con

m = -\tfrac{59}{2}

: el mixto vale

1 + 59 = 60

V = \tfrac{60}{6} = 10\;\checkmark

. Con

m = \tfrac{61}{2}

: vale

1 - 61 = -60

V = \tfrac{|-60|}{6} = 10\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Calcula el producto mixto una sola vez, dejándolo en función de $m$ y $n$ : sirve para los dos apartados. En a) se iguala a cero y en b) se le impone un valor concreto.

"Linealmente dependientes" equivale a determinante nulo; no hace falta plantear $\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}$ ni resolver ningún sistema $3\times 2$ .

No olvides el $\tfrac16$ del tetraedro: el módulo del mixto por sí solo es el volumen del paralelepípedo. Y el valor absoluto produce dos soluciones; quedarse con una pierde la mitad del apartado.