Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2022 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 7 (bloque B). Sea el plano

\pi \equiv 2x + y - 2z - 2 = 0

.

a) [1,5 puntos] Halla las ecuaciones de los planos paralelos a

\pi

que distan

2

unidades de dicho plano.

b) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen de coordenadas y los puntos de corte del plano

\pi

con los ejes coordenados.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad 2x + y - 2z + 4 = 0 \qquad \text{y} \qquad 2x + y - 2z - 8 = 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \text{Cortes } (1,0,0),\, (0,2,0),\, (0,0,-1); \qquad V = \frac{1}{6}\,|1\cdot 2\cdot(-1)| = \frac{1}{3} \ \text{u}^{3}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), dos planos paralelos comparten el vector normal, así que el plano buscado es de la forma

2x + y - 2z + d = 0

: una sola incógnita. La distancia entre dos planos paralelos

Ax+By+Cz+d_{1} = 0

Ax+By+Cz+d_{2} = 0

\frac{\bigl|d_{1} - d_{2}\bigr|}{\lVert\vec{n}\rVert}

Al haber valor absoluto salen dos planos, uno a cada lado.

Aquí el módulo del normal vale exactamente

3

, lo que deja las cuentas en números enteros.

En b), los cortes con los ejes se leen casi de la ecuación, y el volumen del tetraedro que forman con el origen es

\frac{1}{6}|abc|

, siendo

a

b

c

los tres cortes.

Desarrollo

Vector normal.

\vec{n} = (2, 1, -2), \qquad \lVert\vec{n}\rVert = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3

a) Planos paralelos. Todo plano paralelo a

\pi

tiene la forma

\pi' \equiv 2x + y - 2z + d = 0

La distancia entre

\pi

(con

d_{1} = -2

) y

\pi'

d(\pi, \pi') = \frac{\bigl|d - (-2)\bigr|}{3} = \frac{|d + 2|}{3}

Imponiendo que valga

2

\frac{|d+2|}{3} = 2 \;\Longrightarrow\; |d + 2| = 6

d + 2 = 6 \;\Longrightarrow\; d = 4 \qquad\qquad d + 2 = -6 \;\Longrightarrow\; d = -8

Los dos planos son

\pi'_{1} \equiv 2x + y - 2z + 4 = 0 \qquad \text{y} \qquad \pi'_{2} \equiv 2x + y - 2z - 8 = 0

(Comprobación con $\pi'_{1}$ : el punto $(1,0,0)$ pertenece a $\pi$ y su distancia a $\pi'_{1}$ es $\frac{|2+0-0+4|}{3} = \frac{6}{3} = 2\;\checkmark$ )

b) Cortes con los ejes.

Eje $OX$ ( $y = z = 0$ ): $\;2x - 2 = 0 \Longrightarrow A(1, 0, 0)$
Eje $OY$ ( $x = z = 0$ ): $\;y - 2 = 0 \Longrightarrow B(0, 2, 0)$
Eje $OZ$ ( $x = y = 0$ ): $\;-2z - 2 = 0 \Longrightarrow C(0, 0, -1)$

(En forma segmentaria: $\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{-1} = 1$ , donde los denominadores son directamente los cortes.)

Volumen del tetraedro $OABC$ . Con vértice en el origen, los tres vectores son las coordenadas de

A

B

C

V = \frac{1}{6}\Bigl|\bigl[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}\bigr]\Bigr| = \frac{1}{6}\left|\;\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right|\;\right|

El determinante es diagonal, así que vale el producto de la diagonal:

V = \frac{1}{6}\bigl|1 \cdot 2 \cdot (-1)\bigr| = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \ \text{unidades cúbicas}

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Consejo

Los dos planos del apartado a) están a lados opuestos de $\pi$ : el valor absoluto desdobla siempre la ecuación en dos. Dar solo uno deja media pregunta sin contestar, y es el descuido más habitual en este tipo de enunciado.

En b), el corte con $OZ$ sale negativo ( $z = -1$ ) y está bien: el tetraedro cae por debajo del plano $OXY$ . No lo "corrijas" a $+1$ ; como el volumen lleva valor absoluto, el resultado sale positivo igualmente.