Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2021 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 7 (bloque B). Considera las rectas

r \equiv \begin{cases} x = 2 + 3\lambda \\ y = -1 + 2\lambda \\ z = 3 + \phantom{2}\lambda \end{cases} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} 2x - \phantom{2}y - 2 = 0 \\ \phantom{2x} \phantom{{}-{}} y + 2z - 4 = 0 \end{cases}

a) [1,5 puntos] Halla el plano que contiene a

r

y es paralelo a

s

.

b) [1 punto] Deduce razonadamente que ningún plano perpendicular a

s

contiene a

r

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{d}_{r} = (3,2,1), \qquad \vec{d}_{s} = (1,2,-1)\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \pi \equiv x - y - z = 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \vec{d}_{r}\cdot\vec{d}_{s} = 6 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \text{no existe tal plano}\;}

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Estrategia

En a), el plano contiene a

r

(punto y dirección) y es paralelo a

s

(segunda dirección). Dos direcciones y un punto: la normal sale de un producto vectorial. Al final hay que comprobar que

s

no está contenida en el plano, para que "paralelo" sea la palabra correcta.

El apartado b) pide una deducción, no un cálculo: hay que razonar por qué no puede existir tal plano. La clave es traducir las dos condiciones:

Plano perpendicular a $s$ $\Longrightarrow$ su normal es paralela a $\vec{d}_{s}$ .
Plano que contiene a $r$ $\Longrightarrow$ su normal es perpendicular a $\vec{d}_{r}$ .

Juntas obligarían a que

\vec{d}_{r} \perp \vec{d}_{s}

, y basta comprobar que el producto escalar no se anula para concluir que es imposible.

Desarrollo

Datos de $r$ .

R(2,\, -1,\, 3), \qquad \vec{d}_{r} = (3,\, 2,\, 1)

Vector director de $s$ . Producto vectorial de los normales

(2,-1,0)

(0,1,2)

\vec{d}_{s} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right|

\vec{i}: \; (-1)(2) - (0)(1) = -2 \qquad \vec{j}: \; -\bigl[(2)(2) - (0)(0)\bigr] = -4 \qquad \vec{k}: \; (2)(1) - (-1)(0) = 2

\vec{d}_{s} = (-2,\, -4,\, 2) \;\longrightarrow\; \text{dividiendo entre } -2: \quad \vec{d}_{s} = (1,\, 2,\, -1)

a) El plano. Contiene a

R(2,-1,3)

y lleva las direcciones

\vec{d}_{r}

\vec{d}_{s}

\vec{n} = \vec{d}_{r} \times \vec{d}_{s} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{array}\right|

\vec{i}: \; (2)(-1) - (1)(2) = -4 \qquad \vec{j}: \; -\bigl[(3)(-1) - (1)(1)\bigr] = 4 \qquad \vec{k}: \; (3)(2) - (2)(1) = 4

\vec{n} = (-4,\, 4,\, 4) \;\longrightarrow\; \text{dividiendo entre } -4: \quad \vec{n} = (1,\, -1,\, -1)

Imponiendo el paso por

R(2,-1,3)

1\,(x - 2) - 1\,(y + 1) - 1\,(z - 3) = 0 \;\Longrightarrow\; x - 2 - y - 1 - z + 3 = 0

\pi \equiv x - y - z = 0

Comprobaciones.

Contiene a $r$ : el punto $R$ da $\;2 + 1 - 3 = 0\;\checkmark$ , y $\vec{d}_{r}\cdot\vec{n} = 3 - 2 - 1 = 0\;\checkmark$
Es paralelo a $s$ : $\vec{d}_{s}\cdot\vec{n} = 1 - 2 + 1 = 0\;\checkmark$ . Y un punto de $s$ (haciendo $x=0$ : $y = -2$ , $z = 3$ , es decir $S(0,-2,3)$ ) da $\;0 + 2 - 3 = -1 \neq 0$ , luego $s$ no está contenida: es estrictamente paralela $\checkmark$

b) Imposibilidad. Supongamos que existiera un plano

\pi'

perpendicular a

s

que contuviera a

r

. Entonces:

Al ser perpendicular a $s$ , su vector normal sería paralelo al director de $s$ : $\;\vec{n}' = k\,\vec{d}_{s}$ con $k \neq 0$ .
Al contener a $r$ , la dirección de $r$ estaría dentro del plano, luego $\;\vec{n}'\cdot\vec{d}_{r} = 0$ .

Combinando ambas:

k\,\bigl(\vec{d}_{s}\cdot\vec{d}_{r}\bigr) = 0 \;\Longrightarrow\; \vec{d}_{s}\cdot\vec{d}_{r} = 0

Pero

\vec{d}_{s}\cdot\vec{d}_{r} = (1)(3) + (2)(2) + (-1)(1) = 3 + 4 - 1 = 6 \neq 0

Contradicción. Por tanto no existe ningún plano perpendicular a $s$ que contenga a $r$ .

(Geométricamente: un plano perpendicular a $s$ solo puede contener direcciones perpendiculares a $s$ , y la dirección de $r$ no lo es.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El apartado b) pide deducir razonadamente, así que la respuesta es una demostración por reducción al absurdo, no un cálculo. Escribe las dos condiciones en lenguaje vectorial ( $\vec{n}' \parallel \vec{d}_{s}$ y $\vec{n}' \perp \vec{d}_{r}$ ), júntalas y muestra que obligarían a $\vec{d}_{r}\cdot\vec{d}_{s} = 0$ , que es falso.

Y no confundas las dos relaciones: "plano paralelo a una recta" significa $\vec{n}\cdot\vec{d} = 0$ (apartado a), mientras que "plano perpendicular a una recta" significa $\vec{n} \parallel \vec{d}$ (apartado b). Son condiciones opuestas, y este ejercicio las usa las dos seguidas precisamente para comprobar que se distinguen.