Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Vectores y ángulos

Andalucía · 2019 · Septiembre · Opción A
Enunciado
Opción A · Ejercicio 4. Se consideran los vectores u⃗=(1,2,3)\vec{u} = (1,2,3), v⃗=(1,−2,−1)\vec{v} = (1,-2,-1) y w⃗=(2,α,β)\vec{w} = (2,\alpha,\beta), donde α\alpha y β\beta son números reales.

a) [0,75 puntos] Determina los valores de α\alpha y β\beta para los que w⃗\vec{w} es ortogonal a los vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}.

b) [0,75 puntos] Determina los valores de α\alpha y β\beta para los que w⃗\vec{w} y v⃗\vec{v} tienen la misma dirección.

c) [1 punto] Para α=8\alpha = 8, determina el valor de β\beta para el que w⃗\vec{w} es combinación lineal de u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}.
Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido
Resultado
  a)w⃗⋅u⃗=2+2α+3β=0,    w⃗⋅v⃗=2−2α−β=0  ⟹  α=2,  β=−2  \boxed{\;\text{a)}\quad \vec{w}\cdot\vec{u} = 2+2\alpha+3\beta = 0,\;\; \vec{w}\cdot\vec{v} = 2-2\alpha-\beta = 0 \;\Longrightarrow\; \alpha = 2,\; \beta = -2\;}  b)w⃗=λv⃗ con λ=2  ⟹  α=−4,  β=−2  \boxed{\;\text{b)}\quad \vec{w} = \lambda\vec{v} \text{ con } \lambda = 2 \;\Longrightarrow\; \alpha = -4,\; \beta = -2\;}  c)[u⃗,v⃗,w⃗]=4α−4β+8=0 con α=8  ⟹  β=10  \boxed{\;\text{c)}\quad \bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{w}\bigr] = 4\alpha - 4\beta + 8 = 0 \text{ con } \alpha = 8 \;\Longrightarrow\; \beta = 10\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
1

Estrategia

Tres apartados, tres conceptos distintos, cada uno con su herramienta:
  • Ortogonalidad ⇒\Rightarrow producto escalar nulo. Dos condiciones, dos incógnitas: sistema lineal.
  • Misma dirección ⇒\Rightarrow proporcionalidad: w⃗=λv⃗\vec{w} = \lambda\vec{v}. La primera componente fija λ\lambda y las otras dos se leen solas.
  • Combinación lineal de dos vectores ⇒\Rightarrow los tres son linealmente dependientes, es decir, coplanarios: su determinante (producto mixto) es cero.
2

Desarrollo

a) Ortogonalidad.w⃗⋅u⃗=2+2α+3β=0\vec{w}\cdot\vec{u} = 2 + 2\alpha + 3\beta = 0w⃗⋅v⃗=2−2α−β=0\vec{w}\cdot\vec{v} = 2 - 2\alpha - \beta = 0Sumando las dos ecuaciones se elimina α\alpha:4+2β=0  ⟹  β=−24 + 2\beta = 0 \;\Longrightarrow\; \beta = -2Y de la segunda:2−2α+2=0  ⟹  2α=4  ⟹  α=22 - 2\alpha + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; 2\alpha = 4 \;\Longrightarrow\; \alpha = 2α=2,β=−2(w⃗=(2,2,−2))\alpha = 2, \qquad \beta = -2 \qquad \bigl(\vec{w} = (2,2,-2)\bigr)(Comprobación: (2,2,−2)⋅(1,2,3)=2+4−6=0  ✓(2,2,-2)\cdot(1,2,3) = 2+4-6 = 0\;\checkmark; (2,2,−2)⋅(1,−2,−1)=2−4+2=0  ✓(2,2,-2)\cdot(1,-2,-1) = 2-4+2 = 0\;\checkmark. De hecho w⃗\vec{w} es proporcional a u⃗×v⃗=(4,4,−4)\vec{u}\times\vec{v} = (4,4,-4), como tenía que ser.)

b) Misma dirección. Debe existir λ\lambda con w⃗=λv⃗\vec{w} = \lambda\vec{v}:(2, α, β)=λ (1, −2, −1)(2,\, \alpha,\, \beta) = \lambda\,(1,\, -2,\, -1)La primera componente da λ=2\lambda = 2, y entoncesα=−2λ=−4,β=−λ=−2\alpha = -2\lambda = -4, \qquad \beta = -\lambda = -2α=−4,β=−2(w⃗=(2,−4,−2)=2 v⃗)\alpha = -4, \qquad \beta = -2 \qquad \bigl(\vec{w} = (2,-4,-2) = 2\,\vec{v}\bigr)(Como λ=2>0\lambda = 2 > 0, además del mismo sentido.)

c) Combinación lineal. w⃗\vec{w} es combinación lineal de u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} si y solo si los tres vectores son linealmente dependientes:∣1122−2α3−1β∣=0\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & \alpha \\ 3 & -1 & \beta\end{array}\right| = 0(Escritos por columnas: u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w}.) Desarrollando por la primera fila:1 (−2β+α)−1 (2β−3α)+2 (−2+6)=α−2β−2β+3α+81\,\bigl(-2\beta + \alpha\bigr) - 1\,\bigl(2\beta - 3\alpha\bigr) + 2\,\bigl(-2 + 6\bigr) = \alpha - 2\beta - 2\beta + 3\alpha + 8=4α−4β+8= 4\alpha - 4\beta + 8Con α=8\alpha = 8:32−4β+8=0  ⟹  4β=40  ⟹  β=1032 - 4\beta + 8 = 0 \;\Longrightarrow\; 4\beta = 40 \;\Longrightarrow\; \beta = 10(Comprobación: w⃗=(2,8,10)\vec{w} = (2,8,10). Buscando w⃗=su⃗+tv⃗\vec{w} = s\vec{u} + t\vec{v}: de la primera componente s+t=2s + t = 2 y de la segunda 2s−2t=82s - 2t = 8, luego s=3s = 3, t=−1t = -1; y en efecto 3u⃗−v⃗=(3−1, 6+2, 9+1)=(2,8,10)  ✓3\vec{u} - \vec{v} = (3-1,\,6+2,\,9+1) = (2,8,10)\;\checkmark)
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
3

Consejo

Los tres apartados piden cosas muy distintas y se confunden con facilidad: ortogonal →\to producto escalar nulo; misma dirección →\to proporcionalidad; combinación lineal →\to determinante nulo. Identificar cuál toca es la mitad del ejercicio.

En b), la proporcionalidad se plantea con un solo λ\lambda para las tres componentes; no se pueden elegir factores distintos en cada una. Y la primera componente (2=λ⋅12 = \lambda\cdot 1) lo fija de inmediato.

En c), no hace falta plantear el sistema w⃗=su⃗+tv⃗\vec{w} = s\vec{u} + t\vec{v} con tres ecuaciones y dos incógnitas: la condición de dependencia lineal es directamente det⁡=0\det = 0. Eso sí, si te sobra tiempo, resolver el sistema es una comprobación excelente.
Paso 1 de 3
¿Lo has intentado? Con una cuenta marcas hasta dónde llegaste y te proponemos qué repasar después.
Sigue practicando
Vectores y ángulos
Ejercicio 8 (bloque D). Considera los vectores u⃗=(1,a,2)\vec{u} = (1, a, 2) y v⃗=(−2,1,a)\vec{v} = (-2, 1, a). a) [1 punto]…
Matemáticas II · Andalucía · 2024 · Reserva 3Vectores y ángulos
Ejercicio 7 (bloque B). Se consideran los vectores u⃗=(−1,2,3)\vec{u} = (-1, 2, 3) y v⃗=(2,0,−1)\vec{v} = (2, 0, -1), así como…
Matemáticas II · Andalucía · 2022 · JunioVectores y ángulos
Ejercicio 8. Considera los vectores u⃗=(2,1,0)\vec{u} = (2,1,0), v⃗=(1,0,−1)\vec{v} = (1,0,-1) y w⃗=(a,b,1)\vec{w} = (a, b, 1)…
Matemáticas II · Andalucía · 2020 · SeptiembreVectores y ángulos
Opción B · Ejercicio 4. Considera los vectores u⃗=(1,0,1)\vec{u} = (1,0,1), v⃗=(0,2,1)\vec{v} = (0,2,1) y w⃗=(m,1,n)\vec{w} = (m,1,n)…
Matemáticas II · Andalucía · 2017 · Junio
Apuntes y todos los problemas de Geometría →