Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2019 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera el punto

P(-5, 3, 1)

y la recta

r \equiv \frac{x}{2} = \frac{y-3}{2} = \frac{z-2}{-1}

a) [1 punto] Calcula la ecuación general del plano que pasa por

P

y contiene a

r

.

b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta que pasa por

P

y corta perpendicularmente a

r

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Resultado

\boxed{\;R(0,3,2), \; \vec{u} = (2,2,-1), \; \vec{RP} = (-5,0,-1); \qquad P \notin r\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \vec{n} = \vec{u}\times\vec{RP} = (-2,7,10) \;\Longrightarrow\; 2x - 7y - 10z + 41 = 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \vec{PQ}\cdot\vec{u} = 9t+9 = 0 \Rightarrow Q(-2,1,3); \qquad s \equiv \frac{x+5}{3} = \frac{y-3}{-2} = \frac{z-1}{2}\;}

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Estrategia

a) El plano contiene a $r$ y pasa por $P$ : está determinado por el punto $R$ de la recta y dos direcciones, $\vec{u}$ (la de $r$ ) y $\vec{RP}$ . Su normal es el producto vectorial de ambas. (Hay que comprobar antes que $P\notin r$ ; si estuviera, el plano no sería único.)
b) La recta buscada va de $P$ al pie de la perpendicular $Q$ sobre $r$ . Se parametriza $Q(t)$ y se impone $\vec{PQ}\cdot\vec{u} = 0$ ; el $t$ resultante da $Q$ , y la dirección de la recta es $\vec{PQ}$ .

Desarrollo

Elementos de la recta.

R(0,\, 3,\, 2), \qquad \vec{u} = (2,\, 2,\, -1)

¿Está $P$ en $r$ ? Con la forma continua:

\frac{-5}{2} \neq \frac{3-3}{2} = 0

P\notin r

, así que el plano de a) está bien definido.

a) Normal del plano.

\vec{RP} = P - R = (-5,\, 0,\, -1)

\vec{n} = \vec{u}\times\vec{RP} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 2 & -1 \\ -5 & 0 & -1\end{array}\right|

\vec{i}: \; (2)(-1) - (-1)(0) = -2

\vec{j}: \; -\Bigl[(2)(-1) - (-1)(-5)\Bigr] = -(-2 - 5) = 7

\vec{k}: \; (2)(0) - (2)(-5) = 10

\vec{n} = (-2,\, 7,\, 10)

Ecuación, imponiendo el paso por

R(0,3,2)

-2\,(x - 0) + 7\,(y - 3) + 10\,(z - 2) = 0

-2x + 7y + 10z - 21 - 20 = 0 \;\Longrightarrow\; -2x + 7y + 10z - 41 = 0

o, cambiando de signo,

2x - 7y - 10z + 41 = 0

Comprobaciones.

Pasa por $P$ : $\;-10 - 21 - 10 + 41 = 0\;\checkmark$
Contiene a $r$ : el punto genérico es $(2t,\, 3+2t,\, 2-t)$ , y $\;4t - 21 - 14t - 20 + 10t + 41 = 0\;\checkmark$ para todo $t$ .

b) Pie de la perpendicular. Un punto genérico de

r

Q(t) = \bigl(2t,\; 3 + 2t,\; 2 - t\bigr)

\vec{PQ} = Q - P = \bigl(2t + 5,\; 2t,\; 1 - t\bigr)

Imponemos

\vec{PQ}\perp\vec{u}

2\,(2t+5) + 2\,(2t) - 1\,(1-t) = 0

4t + 10 + 4t - 1 + t = 0 \;\Longrightarrow\; 9t + 9 = 0 \;\Longrightarrow\; t = -1

Q = \bigl(-2,\; 3-2,\; 2+1\bigr) = (-2,\, 1,\, 3)

La recta pedida. Pasa por

P(-5,3,1)

con dirección

\vec{PQ} = Q - P = (-2+5,\; 1-3,\; 3-1) = (3,\, -2,\, 2)

s \equiv \frac{x+5}{3} = \frac{y-3}{-2} = \frac{z-1}{2}

o en paramétricas,

\;(x,y,z) = (-5+3\lambda,\; 3-2\lambda,\; 1+2\lambda)

.

Comprobación:

\;\vec{PQ}\cdot\vec{u} = 6 - 4 - 2 = 0\;\checkmark

, y para

\lambda = 1

se obtiene

Q(-2,1,3)

, que está en

r

\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a), comprueba que $P$ no pertenece a la recta. Si perteneciera, habría infinitos planos que contienen a $r$ y a $P$ , y el problema no tendría solución única.

En b), la recta que "corta perpendicularmente" a $r$ debe cortarla: no basta con que sea perpendicular. Por eso hay que hallar el pie $Q$ con la condición $\vec{PQ}\cdot\vec{u} = 0$ y usar $\vec{PQ}$ como director. Una dirección perpendicular cualquiera daría una recta que se cruza con $r$ , no que la corta.

Un plano y una recta bien construidos siempre admiten verificación rápida: sustituye el punto genérico de $r$ en el plano y comprueba que se anula para todo $t$ .