Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2013 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera las rectas

r

s

dadas por

r \equiv \begin{cases} x = 2-3\lambda \\ y = 3+5\lambda \\ z = \phantom{3+5}\lambda\end{cases} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x+y-1 = 0 \\ \phantom{x+y-}z-5 = 0\end{cases}

a) [1 punto] Determina la posición relativa de

r

s

.

b) [1,5 puntos] Calcula la distancia entre

r

s

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r: A(2,3,0), \ \vec{u} = (-3,5,1); \qquad s: B(1,0,5), \ \vec{v} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = (1,-1,0)\;}

\boxed{\;\vec{u}\times\vec{v} = (1,1,-2) \neq \vec0 \;\Longrightarrow\; \text{no paralelas}\;}

\boxed{\;\bigl[\vec{AB},\vec{u},\vec{v}\bigr] = (-1,-3,5)\cdot(1,1,-2) = -14 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{se cruzan}\;}

\boxed{\;d(r,s) = \frac{\lvert-14\rvert}{\sqrt6} = \frac{7\sqrt6}{3} \approx 5{,}72\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Se comparan los directores (¿proporcionales?) y, si no lo son, se calcula el producto mixto $\bigl[\vec{AB},\vec{u},\vec{v}\bigr]$ : si es no nulo, se cruzan; si es nulo, se cortan.

El director de

s

sale del producto vectorial de los normales de sus dos planos.

b) Al cruzarse, la distancia se calcula con la fórmula del producto mixto:

d(r,s) = \frac{\bigl\lvert\bigl[\vec{AB},\vec{u},\vec{v}\bigr]\bigr\rvert}{\lVert\vec{u}\times\vec{v}\rVert}

y el numerador ya lo tenemos del apartado a).

Desarrollo

Datos de $r$ .

A(2,\,3,\,0), \qquad \vec{u} = (-3,\, 5,\, 1)

Datos de $s$ . Los normales son

\vec{n_{1}} = (1,1,0)

\vec{n_{2}} = (0,0,1)

\vec{v} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right| = (1,\, -1,\, 0)

Un punto: con

y = 0

\;x = 1

z = 5

B(1,\,0,\,5)

(Comprobación: $1+0-1 = 0$ $\checkmark$ y $5-5 = 0$ $\checkmark$ )

a) Posición relativa.

\vec{u}\times\vec{v} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & 5 & 1 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right|

\vec{i}: (5)(0)-(1)(-1) = 1 \qquad \vec{j}: -\bigl[(-3)(0)-(1)(1)\bigr] = 1 \qquad \vec{k}: (-3)(-1)-(5)(1) = -2

\vec{u}\times\vec{v} = (1,\, 1,\, -2) \neq \vec{0} \;\Longrightarrow\; \textbf{no son paralelas}

El producto mixto. Con

\vec{AB} = (1-2,\; 0-3,\; 5-0) = (-1,-3,5)

\bigl[\vec{AB},\vec{u},\vec{v}\bigr] = \vec{AB}\cdot\bigl(\vec{u}\times\vec{v}\bigr) = -1-3-10 = -14 \neq 0

\textbf{Las rectas } r \textbf{ y } s \textbf{ se cruzan}

b) La distancia.

\bigl\lVert\vec{u}\times\vec{v}\bigr\rVert = \sqrt{1+1+4} = \sqrt6

d(r,s) = \frac{\lvert-14\rvert}{\sqrt6} = \frac{14}{\sqrt6} = \frac{14\sqrt6}{6} = \frac{7\sqrt6}{3} \approx 5{,}72

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Consejo

El vector $\vec{u}\times\vec{v}$ sirve dos veces: decide el paralelismo en a) y es el denominador de la distancia en b). Y el producto mixto del numerador ya está calculado.

Para $s$ , dada como intersección de planos, el director es $\vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}}$ . Y para el punto, fija una variable y resuelve; comprueba luego que cumple las dos ecuaciones.

Esta fórmula de la distancia es solo para rectas que se cruzan. Si fuesen paralelas, el producto mixto valdría $0$ y habría que usar la fórmula punto-recta.