Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2014 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera el punto

P(2,-2,0)

y la recta

r

dada por

r \equiv \begin{cases} x+z-2 = 0 \\ y+z-1 = 0\end{cases}

a) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que contiene a

P

y es perpendicular a

r

.

b) [1,25 puntos] Calcula la distancia de

P

r

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{u} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = (-1,-1,1) \sim (1,1,-1); \qquad A(2,1,0)\in r\;}

\boxed{\;\text{a) } (x-2)+(y+2)-z = 0 \;\Longrightarrow\; x+y-z = 0\;}

\boxed{\;\vec{AP} = (0,-3,0), \qquad \vec{AP}\times\vec{u} = (3,0,3)\;}

\boxed{\;\text{b) } d(P,r) = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt3} = \sqrt6 \approx 2{,}45\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Primero hay que sacar punto y director de

r

, que viene como intersección de dos planos:

\vec{u} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}}

Después:

a) Plano perpendicular a la recta $\Rightarrow$ su normal es $\vec{u}$ , y pasa por $P$ .
b) Fórmula de la distancia punto-recta, $\;d(P,r) = \dfrac{\lVert\vec{AP}\times\vec{u}\rVert}{\lVert\vec{u}\rVert}$ , o bien buscando el pie de la perpendicular (que es el corte del plano de a) con $r$ ) y midiendo. Haremos las dos cosas, para contrastar.

Desarrollo

El director de $r$ . Los normales son

\vec{n_{1}} = (1,0,1)

\vec{n_{2}} = (0,1,1)

\vec{u} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right|

\vec{i}: (0)(1)-(1)(1) = -1 \qquad \vec{j}: -\bigl[(1)(1)-(1)(0)\bigr] = -1 \qquad \vec{k}: (1)(1)-(0)(0) = 1

\vec{u} = (-1,\, -1,\, 1) \;\sim\; (1,\, 1,\, -1)

Un punto de $r$ . Con

z = 0

\;x = 2

y = 1

A(2,\,1,\,0)

a) El plano perpendicular a $r$ por $P(2,-2,0)$ . Su normal es

\vec{u}\sim(1,1,-1)

1\,(x-2)+1\,(y+2)-1\,(z-0) = 0 \;\Longrightarrow\; x+y-z = 0

Comprobación.

P(2,-2,0)

\;2-2-0 = 0

\;\checkmark

b) La distancia. Con

\vec{AP} = P-A = (0,\,-3,\,0)

\vec{AP}\times\vec{u} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -3 & 0 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right|

\vec{i}: (-3)(-1)-(0)(1) = 3 \qquad \vec{j}: -\bigl[(0)(-1)-(0)(1)\bigr] = 0 \qquad \vec{k}: (0)(1)-(-3)(1) = 3

\vec{AP}\times\vec{u} = (3,\, 0,\, 3)

d(P,r) = \frac{\lVert(3,0,3)\rVert}{\lVert(1,1,-1)\rVert} = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt3} = \sqrt6 \approx 2{,}45

Comprobación con el pie de la perpendicular. El punto genérico de

r

Q(t) = A+t\,\vec{u} = (2+t,\; 1+t,\; -t)

Sustituyendo en el plano de a) (

x+y-z = 0

(2+t)+(1+t)+t = 3t+3 = 0 \;\Longrightarrow\; t = -1

M = (1,\, 0,\, 1) \qquad \vec{PM} = (-1,\, 2,\, 1)

\lVert\vec{PM}\rVert = \sqrt{1+4+1} = \sqrt6 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Perpendicular a la recta" $\Rightarrow$ el normal del plano es el director de la recta. No confundirlo con "que contiene a la recta", donde el normal sería perpendicular a $\vec{u}$ .

El plano de a) es exactamente la herramienta que da el pie de la perpendicular en b): su corte con $r$ . Aprovecharlo permite calcular la distancia por dos caminos y contrastarlos.

Puedes simplificar $\vec{u} = (-1,-1,1)$ a $(1,1,-1)$ : define la misma dirección y el mismo plano. Solo cuida de usar el mismo vector en el numerador y el denominador de la fórmula de la distancia.