Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2023 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 7 (bloque B). Determina los puntos de la recta

r \equiv \begin{cases} x - y + z = 0 \\ x + 3y - 1 = 0 \end{cases}

que son equidistantes de los planos cartesianos

OYZ

OXZ

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r \equiv (1 - 3t,\; t,\; 4t - 1), \qquad \text{condición: } |1 - 3t| = |t|\;}

\boxed{\;P_{1}\!\left(\frac{1}{4},\; \frac{1}{4},\; 0\right) \qquad \text{y} \qquad P_{2}\!\left(-\frac{1}{2},\; \frac{1}{2},\; 1\right)\;}

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Estrategia

Hay que traducir dos cosas al lenguaje de coordenadas:

Los planos cartesianos $OYZ$ y $OXZ$ son, respectivamente, $x = 0$ e $y = 0$ .
La distancia de un punto $P(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ a esos planos es simplemente $|x_{0}|$ y $|y_{0}|$ .

Así que la condición "equidistante" se reduce a

|x| = |y|

, sin necesidad de aplicar ninguna fórmula de distancia.

Después, se parametriza la recta y se impone esa igualdad. El valor absoluto desdobla la ecuación en dos casos, y cada uno da un punto.

Desarrollo

Parametrización de la recta. De la segunda ecuación,

x = 1 - 3y

. Sustituyendo en la primera:

(1 - 3y) - y + z = 0 \;\Longrightarrow\; z = 4y - 1

Tomando

y = t

como parámetro:

r \equiv P(t) = \bigl(1 - 3t,\; t,\; 4t - 1\bigr), \qquad t \in \mathbb{R}

(Su vector director es $(-3, 1, 4)$ .)

Distancias a los planos cartesianos.

d\bigl(P, OYZ\bigr) = d\bigl(P, \{x=0\}\bigr) = |1 - 3t|

d\bigl(P, OXZ\bigr) = d\bigl(P, \{y=0\}\bigr) = |t|

Condición de equidistancia.

|1 - 3t| = |t|

Caso 1:

\;1 - 3t = t \Longrightarrow 1 = 4t \Longrightarrow t = \dfrac{1}{4}

Caso 2:

\;1 - 3t = -t \Longrightarrow 1 = 2t \Longrightarrow t = \dfrac{1}{2}

Los dos puntos.

t = \frac{1}{4}: \quad P_{1} = \left(1 - \frac{3}{4},\; \frac{1}{4},\; 4\cdot\frac{1}{4} - 1\right) = \left(\frac{1}{4},\; \frac{1}{4},\; 0\right)

t = \frac{1}{2}: \quad P_{2} = \left(1 - \frac{3}{2},\; \frac{1}{2},\; 4\cdot\frac{1}{2} - 1\right) = \left(-\frac{1}{2},\; \frac{1}{2},\; 1\right)

Comprobación.

$P_{1}$ : pertenece a $r$ ( $\frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 0 = 0$ y $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 1 = 0$ ), y sus distancias son $\left|\frac{1}{4}\right| = \left|\frac{1}{4}\right|$ . Correcto.
$P_{2}$ : pertenece a $r$ ( $-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 = 0$ y $-\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 1 = 0$ ), y sus distancias son $\left|-\frac{1}{2}\right| = \left|\frac{1}{2}\right|$ . Correcto.

La diferencia entre los dos casos es geométrica: en

P_{1}

las coordenadas

x

y

tienen el mismo signo (el punto está sobre el plano bisector

x = y

), y en

P_{2}

tienen signos opuestos (está sobre el otro bisector,

x = -y

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Consejo

No confundas los planos cartesianos con los ejes. $OYZ$ es el plano $x = 0$ (el que contiene a los ejes $OY$ y $OZ$ ), no el eje $OX$ . La distancia de un punto a $OYZ$ es el valor absoluto de su primera coordenada, y a $OXZ$ , el de la segunda.

Y hay dos soluciones, no una: $|a| = |b|$ equivale a $a = b$ o $a = -b$ . Geométricamente, los puntos equidistantes de dos planos secantes forman los dos planos bisectores, y la recta corta a cada uno en un punto. Si solo das uno, te dejas la mitad.