Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2018 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Sea

r

la recta que pasa por los puntos

A(3,6,7)

B(7,8,3)

, y sea

s

la recta dada por

s \equiv \begin{cases} \phantom{3}x - 4y - z = -10 \\ 3x - 4y + z = -\phantom{1}2\end{cases}

a) [1,25 puntos] Determina la posición relativa de

r

s

.

b) [1,25 puntos] Calcula la distancia entre

r

s

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{u} = (4,2,-4), \qquad \vec{v} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2} = (-8,-4,8) = -2\,\vec{u}\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{Directores proporcionales y } A\notin s \;\Longrightarrow\; \text{paralelas y distintas}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad d(r,s) = \frac{\lVert\vec{AS}\times\vec{u}\rVert}{\lVert\vec{u}\rVert} = \frac{36}{6} = 6\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El director de

r

\vec{AB}

; el de

s

, el producto vectorial de los normales de sus dos planos.

Aquí ocurre algo que conviene detectar pronto: los dos directores resultan proporcionales. Las rectas son paralelas (o coincidentes), y eso cambia la fórmula de la distancia del apartado b): no vale la del producto mixto (daría

\frac00

), sino la de punto a recta:

d(r,s) = \frac{\bigl\lVert\vec{AS}\times\vec{u}\bigr\rVert}{\lVert\vec{u}\rVert}

Desarrollo

Director de $r$ .

\vec{u} = \vec{AB} = (7-3,\; 8-6,\; 3-7) = (4,\, 2,\, -4) \;\parallel\; (2,\, 1,\, -2)

Director de $s$ . Los normales son

\vec{n}_{1} = (1,-4,-1)

\vec{n}_{2} = (3,-4,1)

\vec{v} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -4 & -1 \\ 3 & -4 & \phantom{-}1\end{array}\right|

\vec{i}: \; (-4)(1) - (-1)(-4) = -4 - 4 = -8

\vec{j}: \; -\Bigl[(1)(1) - (-1)(3)\Bigr] = -(1 + 3) = -4

\vec{k}: \; (1)(-4) - (-4)(3) = -4 + 12 = 8

\vec{v} = (-8,\, -4,\, 8) = -4\,(2,\, 1,\, -2)

a) Posición relativa. Los directores son proporcionales:

\vec{v} = -2\,\vec{u} \;\Longrightarrow\; r \parallel s \quad \text{(paralelas o coincidentes)}

Falta distinguir: ¿pertenece

A(3,6,7)

s

3 - 24 - 7 = -28 \neq -10

No. Por tanto:

r \text{ y } s \text{ son } \textbf{paralelas y distintas}

b) Distancia. Necesitamos un punto de

s

: haciendo

z = 0

\begin{cases} \phantom{3}x - 4y = -10 \\ 3x - 4y = -\phantom{1}2\end{cases}

Restando,

2x = 8 \Rightarrow x = 4

, y entonces

4 - 4y = -10 \Rightarrow y = \tfrac72

S\left(4,\; \frac72,\; 0\right) \in s

Vector entre las rectas.

\vec{AS} = S - A = \left(1,\; -\frac52,\; -7\right)

Producto vectorial con el director.

\vec{AS}\times\vec{u} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -\tfrac52 & -7 \\ 4 & \phantom{-}2 & -4\end{array}\right|

\vec{i}: \; \left(-\tfrac52\right)(-4) - (-7)(2) = 10 + 14 = 24

\vec{j}: \; -\Bigl[(1)(-4) - (-7)(4)\Bigr] = -(-4 + 28) = -24

\vec{k}: \; (1)(2) - \left(-\tfrac52\right)(4) = 2 + 10 = 12

\vec{AS}\times\vec{u} = (24,\, -24,\, 12), \qquad \bigl\lVert\cdot\bigr\rVert = \sqrt{576 + 576 + 144} = \sqrt{1296} = 36

\bigl\lVert\vec{u}\bigr\rVert = \sqrt{16 + 4 + 16} = 6

d(r,s) = \frac{36}{6} = 6 \ \text{unidades}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Comprueba el paralelismo antes de elegir fórmula. Si te lanzas a la del producto mixto —la de rectas que se cruzan— obtendrás $\frac{0}{0}$ , porque tanto el mixto como $\vec{u}\times\vec{v}$ se anulan cuando las rectas son paralelas. La fórmula correcta aquí es la de punto a recta.

Distinguir entre paralelas y coincidentes es obligatorio: basta comprobar si un punto de una está en la otra. Si lo estuviera, la distancia sería $0$ .

Puedes usar el director simplificado $(2,1,-2)$ en lugar de $(4,2,-4)$ : la distancia sale igual, porque el factor se cancela entre numerador y denominador. Lo que no puedes es mezclar los dos en la misma fórmula.