Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Vectores y ángulos

Andalucía · 2014 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera los vectores

\vec{u} = (1,-1,3)

\vec{v} = (1,0,-1)

\vec{w} = (\lambda,1,0)

.

a) [0,75 puntos] Calcula los valores de

\lambda

que hacen que

\vec{u}

\vec{w}

sean ortogonales.

b) [0,75 puntos] Calcula los valores de

\lambda

que hacen que

\vec{u}

\vec{v}

\vec{w}

sean linealmente independientes.

c) [1 punto] Para

\lambda = 1

escribe el vector

\vec{r} = (3,0,2)

como combinación lineal de

\vec{u}

\vec{v}

\vec{w}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } \vec{u}\cdot\vec{w} = \lambda-1 = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = 1\;}

\boxed{\;\text{b) } \begin{vmatrix} 1 & 1 & \lambda \\ -1 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 0\end{vmatrix} = \lambda+4 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \lambda \neq -4\;}

\boxed{\;\text{c) } \lambda=1: \ \alpha+\beta+\gamma = 3, \ -\alpha+\gamma = 0, \ 3\alpha-\beta = 2\;}

\boxed{\;\alpha = \beta = \gamma = 1: \quad \vec{r} = \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres herramientas distintas, una por apartado:

a) Ortogonales $\iff$ producto escalar nulo: $\vec{u}\cdot\vec{w} = 0$ .
b) Tres vectores de $\mathbb{R}^{3}$ son linealmente independientes $\iff$ el determinante que forman no es nulo.
c) Se plantea $\vec{r} = \alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}$ , que es un sistema de tres ecuaciones (una por coordenada) con tres incógnitas. Como en b) veremos que con $\lambda=1$ son independientes, la solución es única.

Desarrollo

a) Ortogonalidad de $\vec{u}$ y $\vec{w}$ .

\vec{u}\cdot\vec{w} = (1)(\lambda)+(-1)(1)+(3)(0) = \lambda-1 = 0

\lambda = 1

b) Independencia lineal.

\begin{vmatrix} 1 & 1 & \lambda \\ -1 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 0\end{vmatrix} = 1\,(0+1)-1\,(0-3)+\lambda\,(1-0) = 1+3+\lambda = \lambda+4

\lambda+4 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \lambda \neq -4

\textbf{Son linealmente independientes para todo } \lambda \neq -4

(Con $\lambda = -4$ el determinante se anula y los tres vectores son coplanarios.)

c) La combinación lineal con $\lambda = 1$ . Buscamos

\alpha

\beta

\gamma

con

\alpha\,(1,-1,3)+\beta\,(1,0,-1)+\gamma\,(1,1,0) = (3,\,0,\,2)

Coordenada a coordenada:

\begin{cases} \alpha+\beta+\gamma = 3 \\ -\alpha\phantom{{}+\beta}+\gamma = 0 \\ 3\alpha-\beta\phantom{{}+\gamma} = 2\end{cases}

(Como $\lambda = 1 \neq -4$ , el sistema es compatible determinado.)

De la segunda:

\;\gamma = \alpha

. Sustituyendo en la primera:

\;2\alpha+\beta = 3

, es decir,

\beta = 3-2\alpha

.

En la tercera:

3\alpha-(3-2\alpha) = 5\alpha-3 = 2 \;\Longrightarrow\; \alpha = 1

\gamma = 1, \qquad \beta = 3-2 = 1

\vec{r} = \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}

Comprobación.

(1,-1,3)+(1,0,-1)+(1,1,0) = (3,\, 0,\, 2) \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No confundas las herramientas: ortogonalidad $\to$ producto escalar; independencia lineal $\to$ determinante. Son apartados consecutivos precisamente para comprobar que las distingues.

Fíjate en que $\lambda = 1$ (respuesta de a) es compatible con $\lambda\neq-4$ (respuesta de b): por eso en c) el sistema tiene solución única. Merece la pena decirlo antes de resolverlo.

Comprueba la combinación lineal sumando los tres vectores: es una verificación de cinco segundos que garantiza el apartado entero.