Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2017 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Los puntos

A(1,1,1)

B(2,2,2)

C(1,3,3)

son vértices consecutivos del paralelogramo

ABCD

.

a) [1 punto] Calcula el área del paralelogramo.

b) [1 punto] Halla la ecuación general del plano que contiene a dicho paralelogramo.

c) [0,5 puntos] Calcula las coordenadas del vértice

D

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{AB} = (1,1,1), \quad \vec{BC} = (-1,1,1), \quad \vec{AB}\times\vec{BC} = (0,-2,2)\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{Área} = \lVert(0,-2,2)\rVert = 2\sqrt2 \approx 2{,}83\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad y - z = 0 \qquad\qquad \text{c)}\quad D = A + \vec{BC} = (0,\, 2,\, 2)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La palabra consecutivos es la clave:

A

B

C

D

se recorren en orden alrededor del paralelogramo, de modo que los lados son

AB

BC

CD

DA

. Eso determina:

a) El área es el módulo del producto vectorial de dos lados contiguos, $\vec{AB}\times\vec{BC}$ (sin dividir entre dos: es un paralelogramo, no un triángulo).
b) El mismo producto vectorial es el vector normal del plano.
c) En un paralelogramo los lados opuestos son iguales como vectores: $\vec{AD} = \vec{BC}$ , luego $D = A + \vec{BC}$ .

Desarrollo

Los dos lados contiguos.

\vec{AB} = B - A = (1,\, 1,\, 1), \qquad \vec{BC} = C - B = (-1,\, 1,\, 1)

Producto vectorial.

\vec{AB}\times\vec{BC} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \phantom{-}1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right|

\vec{i}: \; (1)(1) - (1)(1) = 0

\vec{j}: \; -\Bigl[(1)(1) - (1)(-1)\Bigr] = -(1+1) = -2

\vec{k}: \; (1)(1) - (1)(-1) = 1 + 1 = 2

\vec{AB}\times\vec{BC} = (0,\, -2,\, 2)

a) Área del paralelogramo.

\text{Área} = \bigl\lVert\vec{AB}\times\vec{BC}\bigr\rVert = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83 \ \text{unidades cuadradas}

b) Plano que lo contiene. Su normal es el producto vectorial, simplificado:

\vec{n} = (0,\, -2,\, 2) \;\parallel\; (0,\, 1,\, -1)

Imponiendo el paso por

A(1,1,1)

0\,(x-1) + 1\,(y-1) - 1\,(z-1) = 0 \;\Longrightarrow\; y - z = 0

Comprobaciones:

A(1,1,1)

1-1=0\;\checkmark

;

B(2,2,2)

0\;\checkmark

;

C(1,3,3)

0\;\checkmark

(La $x$ no aparece: el plano es paralelo al eje $OX$ .)

c) El vértice $D$ . Al ser

ABCD

un paralelogramo con vértices consecutivos, los lados

AD

BC

son paralelos e iguales:

\vec{AD} = \vec{BC} \;\Longrightarrow\; D = A + \vec{BC} = (1,1,1) + (-1,1,1) = (0,\, 2,\, 2)

Comprobación. El otro par de lados también debe cumplirlo:

\vec{DC} = C - D = (1,\, 1,\, 1) = \vec{AB} \quad \checkmark

D

está en el plano:

\;2 - 2 = 0\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En un paralelogramo el área es el módulo del producto vectorial entero, sin el $\tfrac12$ del triángulo. Es el error más frecuente del apartado a).

"Vértices consecutivos" fija el orden $A\to B\to C\to D$ , y de ahí que $\vec{AD} = \vec{BC}$ . Si te lías, dibuja el paralelogramo: $D$ es el vértice opuesto a $B$ , y se alcanza tanto saliendo de $A$ con $\vec{BC}$ como saliendo de $C$ con $\vec{BA}$ (ambos dan $(0,2,2)$ ). Lo que no vale es $D = C + \vec{AB}$ , que llevaría al vértice equivocado.

Comprueba $D$ con el otro par de lados: $\vec{DC}$ debe coincidir con $\vec{AB}$ . Si no, has construido un paralelogramo con los vértices en otro orden.