Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2019 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera los puntos

A(0,3,-1)

B(0,1,a)

y el plano

\pi

de ecuación

x - y + z = 0

.

a) [0,75 puntos] Determina

a

sabiendo que la recta que pasa por

A

y por

B

es paralela al plano

\pi

.

b) [0,75 puntos] Halla el punto de corte del plano

\pi

con la recta que pasa por

A

y es perpendicular a dicho plano.

c) [1 punto] Para

a = 2

, halla el plano que contiene a los puntos

A

B

y es perpendicular al plano

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \vec{AB} = (0,-2,a+1); \quad \vec{n}\cdot\vec{AB} = a+3 = 0 \;\Longrightarrow\; a = -3\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad s \equiv (t,\,3-t,\,-1+t) \text{ corta a } \pi \text{ en } t = \tfrac43: \quad P\left(\tfrac43, \tfrac53, \tfrac13\right)\;}

\boxed{\;\text{c)}\quad \vec{w} = \vec{AB}\times\vec{n} = (1,3,2) \;\Longrightarrow\; x + 3y + 2z - 7 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los tres apartados giran alrededor del vector normal

\vec{n} = (1,-1,1)

y del vector

\vec{AB}

, y cada uno usa una relación distinta:

a) Recta paralela al plano $\Longrightarrow$ $\vec{n}\cdot\vec{AB} = 0$ .
b) Recta perpendicular al plano $\Longrightarrow$ su director es $\vec{n}$ . El corte se halla sustituyendo la paramétrica en la ecuación del plano.
c) Plano perpendicular a $\pi$ que contiene a $A$ y $B$ $\Longrightarrow$ su normal es perpendicular a $\vec{AB}$ y a $\vec{n}$ : producto vectorial.

Desarrollo

a) Paralelismo.

\vec{AB} = B - A = \bigl(0,\; 1-3,\; a+1\bigr) = (0,\, -2,\, a+1)

\vec{n}\cdot\vec{AB} = 1\cdot 0 + (-1)(-2) + 1\cdot(a+1) = 2 + a + 1 = a + 3

a + 3 = 0 \;\Longrightarrow\; a = -3

Comprobación de que no está contenida.

A(0,3,-1)

\pi

0 - 3 + (-1) = -4 \neq 0

A\notin\pi

, así que la recta

AB

es paralela al plano y no está contenida en él

\checkmark

b) Recta perpendicular a $\pi$ por $A$ . Su director es

\vec{n} = (1,-1,1)

s \equiv (x,y,z) = (0,3,-1) + t\,(1,-1,1) = \bigl(t,\; 3-t,\; -1+t\bigr)

Corte con $\pi$ . Sustituyendo en

x - y + z = 0

t - (3 - t) + (-1 + t) = 0 \;\Longrightarrow\; 3t - 4 = 0 \;\Longrightarrow\; t = \frac{4}{3}

P = \left(\frac{4}{3},\; 3 - \frac43,\; -1 + \frac43\right) = \left(\frac{4}{3},\; \frac{5}{3},\; \frac{1}{3}\right)

(Comprobación: $\tfrac43 - \tfrac53 + \tfrac13 = 0\;\checkmark$ . Este punto es el pie de la perpendicular, la proyección de $A$ sobre $\pi$ .)

c) Caso $a = 2$ . Ahora

B(0,1,2)

\vec{AB} = (0,\, -2,\, 3)

Normal del plano buscado. Debe ser perpendicular a

\vec{AB}

(porque el plano contiene la recta

AB

) y a

\vec{n}

(porque los planos son perpendiculares):

\vec{w} = \vec{AB}\times\vec{n} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right|

\vec{i}: \; (-2)(1) - (3)(-1) = -2 + 3 = 1

\vec{j}: \; -\Bigl[(0)(1) - (3)(1)\Bigr] = 3

\vec{k}: \; (0)(-1) - (-2)(1) = 2

\vec{w} = (1,\, 3,\, 2)

Ecuación, imponiendo el paso por

A(0,3,-1)

1\,(x - 0) + 3\,(y - 3) + 2\,(z + 1) = 0

x + 3y + 2z - 9 + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; x + 3y + 2z - 7 = 0

Comprobaciones.

Pasa por $A$ : $\;0 + 9 - 2 - 7 = 0\;\checkmark$
Pasa por $B(0,1,2)$ : $\;0 + 3 + 4 - 7 = 0\;\checkmark$
Perpendicular a $\pi$ : $\;(1,3,2)\cdot(1,-1,1) = 1 - 3 + 2 = 0\;\checkmark$

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Ten claras las tres relaciones, porque los tres apartados las recorren todas: paralelo al plano $\to$ producto escalar con $\vec{n}$ igual a cero; perpendicular al plano $\to$ el director es $\vec{n}$ ; plano perpendicular a otro $\to$ normal ortogonal a $\vec{n}$ (producto vectorial).

En a), la comprobación de que $A\notin\pi$ no es un adorno: si perteneciera, toda la recta estaría contenida en el plano y no habría paralelismo estricto.

En c) verifica que el plano pasa por los dos puntos, $A$ y $B$ . Es una comprobación de diez segundos que detecta cualquier error en el producto vectorial o en el término independiente.