Opción B · Ejercicio 4. Considera el triángulo cuyos vértices son los puntos A(1,1,0), B(1,0,2) y C(0,2,1). a) [1,25 puntos] Halla el área de dicho triángulo. b) [1,25 puntos] Calcula el coseno del ángulo en el vértice A.

Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2019 · Junio · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera el triángulo cuyos vértices son los puntos

A(1,1,0)

B(1,0,2)

C(0,2,1)

.

a) [1,25 puntos] Halla el área de dicho triángulo.

b) [1,25 puntos] Calcula el coseno del ángulo en el vértice

A

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Resultado

\boxed{\;\vec{AB} = (0,-1,2), \qquad \vec{AC} = (-1,1,1)\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \vec{AB}\times\vec{AC} = (-3,-2,-1); \qquad \text{Área} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1{,}87\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \cos\widehat{A} = \frac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{\lVert\vec{AB}\rVert\lVert\vec{AC}\rVert} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15} \approx 0{,}258\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados parten de los mismos dos vectores,

\vec{AB}

\vec{AC}

, y cada uno usa un producto distinto:

\text{Área} = \frac{1}{2}\bigl\lVert\vec{AB}\times\vec{AC}\bigr\rVert \qquad\qquad \cos\widehat{A} = \frac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{\bigl\lVert\vec{AB}\bigr\rVert\,\bigl\lVert\vec{AC}\bigr\rVert}

El vectorial da el área; el escalar, el ángulo. Es importante que ambos vectores salgan del vértice $A$ : si tomas

\vec{BA}

\vec{AC}

, el área no cambia pero el coseno sí (sale con el signo opuesto).

Desarrollo

Los vectores desde $A$ .

\vec{AB} = B - A = (1-1,\; 0-1,\; 2-0) = (0,\, -1,\, 2)

\vec{AC} = C - A = (0-1,\; 2-1,\; 1-0) = (-1,\, 1,\, 1)

a) Producto vectorial.

\vec{AB}\times\vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right|

\vec{i}: \; (-1)(1) - (2)(1) = -1 - 2 = -3

\vec{j}: \; -\Bigl[(0)(1) - (2)(-1)\Bigr] = -(0 + 2) = -2

\vec{k}: \; (0)(1) - (-1)(-1) = 0 - 1 = -1

\vec{AB}\times\vec{AC} = (-3,\, -2,\, -1)

\bigl\lVert\vec{AB}\times\vec{AC}\bigr\rVert = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}

\text{Área} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1{,}87 \ \text{unidades cuadradas}

(Como el producto vectorial no es nulo, los tres puntos no están alineados y el triángulo existe.)

b) Producto escalar y módulos.

\vec{AB}\cdot\vec{AC} = (0)(-1) + (-1)(1) + (2)(1) = 0 - 1 + 2 = 1

\bigl\lVert\vec{AB}\bigr\rVert = \sqrt{0 + 1 + 4} = \sqrt{5}, \qquad \bigl\lVert\vec{AC}\bigr\rVert = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}

\cos\widehat{A} = \frac{1}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15} \approx 0{,}258

(El coseno es positivo, así que el ángulo en $A$ es agudo: $\widehat{A} \approx 75{,}0^{\circ}$ .)

Coherencia entre los dos apartados. El seno debe cumplir

\operatorname{sen}\widehat{A} = \frac{\lVert\vec{AB}\times\vec{AC}\rVert}{\lVert\vec{AB}\rVert\,\lVert\vec{AC}\rVert} = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{15}}

y en efecto

\;\left(\dfrac{1}{\sqrt{15}}\right)^{2} + \left(\dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{15}}\right)^{2} = \dfrac{1 + 14}{15} = 1\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los dos vectores tienen que partir del vértice $A$ . Es indiferente para el área (el módulo del producto vectorial no cambia de signo), pero para el ángulo es decisivo: usar $\vec{BA}$ te daría $\cos = -\frac{1}{\sqrt{15}}$ , el ángulo suplementario.

El área es la mitad del módulo del producto vectorial. Ese $\frac12$ es de los errores más frecuentes de todo el bloque de Geometría.

Buena comprobación gratis: con el coseno del producto escalar y el seno del producto vectorial, debe cumplirse $\operatorname{sen}^{2} + \cos^{2} = 1$ . Si no cuadra, hay un error de cálculo en alguno de los dos apartados.