Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2024 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 8 (bloque D). Considera los puntos

O(0,0,0)

A(a,-1,2)

B(a,1,0)

.

a) [1,5 puntos] Determina

a

para que el triángulo

OAB

tenga área

3

unidades cuadradas.

b) [1 punto] Calcula

a

para que

O

A

B

sean coplanarios con el punto

C(1,1,0)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad S = \sqrt{1+2a^{2}} = 3 \;\Longrightarrow\; a = 2 \ \text{o} \ a = -2\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \bigl[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigr] = 2a-2 = 0 \;\Longrightarrow\; a = 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Un mismo cálculo sirve para los dos apartados: el producto vectorial

\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}

, que además es cómodo porque uno de los vértices es el origen y los vectores son directamente las coordenadas de

A

B

En a) el área del triángulo es la mitad de su módulo.
En b) cuatro puntos son coplanarios cuando el producto mixto de tres vectores que los unen es cero, y el producto mixto se calcula como $\bigl(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\bigr)\cdot\overrightarrow{OC}$ : se reutiliza el vector de a) sin recalcular nada.

Desarrollo

El producto vectorial. Con

\overrightarrow{OA} = (a,-1,2)

\overrightarrow{OB} = (a,1,0)

\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & -1 & 2 \\ a & 1 & 0\end{array}\right| = \bigl(0 - 2\bigr)\vec{i} - \bigl(0 - 2a\bigr)\vec{j} + \bigl(a + a\bigr)\vec{k} = (-2,\ 2a,\ 2a)

a) Área $3$ .

\bigl\lVert\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\bigr\rVert = \sqrt{4 + 4a^{2} + 4a^{2}} = \sqrt{4 + 8a^{2}} = 2\sqrt{1+2a^{2}}

S = \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{1+2a^{2}} = \sqrt{1+2a^{2}}

Imponemos

S = 3

\sqrt{1+2a^{2}} = 3 \;\Longrightarrow\; 1 + 2a^{2} = 9 \;\Longrightarrow\; a^{2} = 4 \;\Longrightarrow\; a = 2 \quad\text{o}\quad a = -2

(Las dos son válidas: $a$ es una coordenada, no una longitud, así que no se descarta la negativa.)

Comprobación con

a=2

\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB} = (-2,4,4)

, de módulo

\sqrt{4+16+16} = 6

, y el área es

3

✓. Con

a=-2

sale

(-2,-4,-4)

, del mismo módulo ✓.

b) Coplanariedad con $C(1,1,0)$ . Los cuatro puntos son coplanarios si y solo si el producto mixto se anula:

\bigl[\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB},\ \overrightarrow{OC}\bigr] = \bigl(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\bigr)\cdot\overrightarrow{OC} = (-2,\ 2a,\ 2a)\cdot(1,\ 1,\ 0)

= -2 + 2a + 0 = 2a - 2

2a - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; a = 1

Comprobación con

a=1

: los puntos son

O(0,0,0)

A(1,-1,2)

B(1,1,0)

C(1,1,0)

... obsérvese que entonces

B = C

, así que los cuatro puntos son en realidad tres y trivialmente coplanarios. Formalmente el determinante es

\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right| = 0

(dos filas iguales), lo que confirma el resultado.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Aprovecha que un vértice es el origen: entonces $\overrightarrow{OA}$ y $\overrightarrow{OB}$ son las coordenadas de $A$ y $B$ tal cual, sin restar nada. Y reutiliza el producto vectorial de a) para el producto mixto de b), que es $\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{w}\bigr] = \bigl(\vec{u}\times\vec{v}\bigr)\cdot\vec{w}$ .

En a), da las dos soluciones: $a$ es una coordenada y puede ser negativa. El valor absoluto y la raíz cuadrada casi siempre desdoblan la respuesta, y quedarse con una sola es media pregunta.