Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2024 · Junio

Enunciado

Ejercicio 7 (bloque D).

a) [1,25 puntos] Halla el punto simétrico de

P(2,2,1)

respecto de la recta

r \equiv \begin{cases} x - 2y + z = 2 \\ y - z = 1 \end{cases}

b) [1,25 puntos] Halla el punto simétrico de

Q(1,-1,-3)

respecto del plano

\pi \equiv x - 2y + z + 6 = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad M(4,1,0), \qquad P'(6,\ 0,\ -1)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad M(0,1,-4), \qquad Q'(-1,\ 3,\ -5)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados comparten el mismo esqueleto de tres pasos: hallar el pie

M

de la perpendicular, comprobar que

M

es el punto medio y aplicar

P' = 2M - P

. Lo que cambia es cómo se localiza

M

Respecto de una recta (apartado a): se toma el punto genérico de $r$ y se impone que el vector que lo une con $P$ sea perpendicular al director de la recta.
Respecto de un plano (apartado b): se traza la recta perpendicular al plano por $Q$ (su director es el vector normal) y se corta con el plano.

En a) hay que empezar leyendo la recta, que viene como intersección de dos planos: el director es el producto vectorial de las dos normales.

Desarrollo

a) Simétrico respecto de la recta $r$ .

Datos de la recta. Las normales de los dos planos son

\vec{n}_{1} = (1,-2,1)

\vec{n}_{2} = (0,1,-1)

, luego

\vec{v} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1\end{array}\right| = (2-1)\,\vec{i} - (-1-0)\,\vec{j} + (1-0)\,\vec{k} = (1,\ 1,\ 1)

Un punto: con

z=0

queda

y=1

x - 2 = 2

, es decir

R(4,1,0)

. (Comprobación: $4-2+0=2$ ✓, $1-0=1$ ✓.)

Pie de la perpendicular. El punto genérico de

r

M(t) = (4+t,\ 1+t,\ t)

, y

\overrightarrow{PM} = (4+t-2,\ 1+t-2,\ t-1) = (2+t,\ t-1,\ t-1)

Imponemos

\overrightarrow{PM}\cdot\vec{v} = 0

(2+t) + (t-1) + (t-1) = 3t = 0 \;\Longrightarrow\; t = 0

M = (4,\ 1,\ 0)

(Ha salido justo el punto $R$ que habíamos elegido: una casualidad cómoda, no un error. Se confirma con $\overrightarrow{PM} = (2,-1,-1)$ y $\overrightarrow{PM}\cdot\vec{v} = 2-1-1 = 0$ ✓. Y $P \notin r$ , porque $2 - 4 + 1 = -1 \neq 2$ .)

El simétrico. Como

M

es el punto medio de

P

P'

P' = 2M - P = (8-2,\ 2-2,\ 0-1) = (6,\ 0,\ -1)

b) Simétrico respecto del plano $\pi$ .

Recta perpendicular a $\pi$ por $Q(1,-1,-3)$ , con director

\vec{n} = (1,-2,1)

s \equiv \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 - 2t \\ z = -3 + t \end{cases}

Corte con el plano. Sustituyendo en

x - 2y + z + 6 = 0

(1+t) - 2(-1-2t) + (-3+t) + 6 = 1 + t + 2 + 4t - 3 + t + 6 = 6t + 6 = 0 \;\Longrightarrow\; t = -1

M = (1-1,\ -1+2,\ -3-1) = (0,\ 1,\ -4)

(Comprobación: $0 - 2 - 4 + 6 = 0$ ✓, $M \in \pi$ .)

El simétrico.

Q' = 2M - Q = (0-1,\ 2+1,\ -8+3) = (-1,\ 3,\ -5)

(Comprobación: el punto medio de $Q(1,-1,-3)$ y $Q'(-1,3,-5)$ es $(0,1,-4) = M$ ✓.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No confundas los dos procedimientos. Respecto de una recta, la condición es $\overrightarrow{PM}\cdot\vec{v} = 0$ con $M$ recorriendo la recta. Respecto de un plano, se traza la recta con director $\vec{n}$ y se corta con el plano. Aplicar el método del plano a la recta (o al revés) es el fallo estructural que anula el apartado.

Y en los dos casos, cierra con la comprobación del punto medio: $P' = 2M - P$ es aritmética simple, pero un signo mal ahí tira por la borda todo el planteamiento, que es lo que de verdad puntúa ( $0{,}75$ de los $1{,}25$ en cada apartado).