Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2013 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. [2,5 puntos] Considera las rectas

r \equiv x = y = z, \qquad s \equiv \begin{cases} x = 2 \\ y = 1\end{cases} \qquad \text{y} \qquad t \equiv \begin{cases} x = \phantom{-}1+2\lambda \\ y = \phantom{-1+}3\lambda \\ z = -1+\phantom{3}\lambda\end{cases}

Halla la recta que corta a $r$ y a $s$ y es paralela a $t$ .

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;P(\alpha) = (\alpha,\alpha,\alpha)\in r, \qquad Q(\beta) = (2,1,\beta)\in s, \qquad \vec{u_{t}} = (2,3,1)\;}

\boxed{\;\vec{PQ} = (2-\alpha,\, 1-\alpha,\, \beta-\alpha) \parallel (2,3,1)\;}

\boxed{\;3(2-\alpha) = 2(1-\alpha) \Rightarrow \alpha = 4; \quad \beta = 3\;}

\boxed{\;P(4,4,4), \ Q(2,1,3): \quad \frac{x-4}{2} = \frac{y-4}{3} = \frac{z-4}{1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Se busca una recta que se apoya en

r

y en

s

con una dirección prefijada (

\vec{u_{t}}

). El planteamiento natural:

Tomar un punto genérico $P$ de $r$ y otro $Q$ de $s$ , cada uno con su parámetro.
Imponer que $\vec{PQ}$ sea paralelo a $\vec{u_{t}}$ , es decir, $\;\vec{PQ}\times\vec{u_{t}} = \vec{0}$ .
Resolver el sistema de dos incógnitas y escribir la recta por $P$ (o por $Q$ ) con dirección $\vec{u_{t}}$ .

Fíjate en que

s

es una recta vertical (

x

y

fijos,

z

libre): su punto genérico es muy sencillo.

Desarrollo

Puntos genéricos.

r: \; P(\alpha) = (\alpha,\; \alpha,\; \alpha) \qquad\qquad s: \; Q(\beta) = (2,\; 1,\; \beta)

La dirección de $t$ .

\vec{u_{t}} = (2,\, 3,\, 1)

El vector $\vec{PQ}$ .

\vec{PQ} = \bigl(2-\alpha,\; 1-\alpha,\; \beta-\alpha\bigr)

Condición de paralelismo con $\vec{u_{t}}$ . Las componentes deben ser proporcionales:

\frac{2-\alpha}{2} = \frac{1-\alpha}{3} = \frac{\beta-\alpha}{1}

De las dos primeras:

3\,(2-\alpha) = 2\,(1-\alpha) \;\Longrightarrow\; 6-3\alpha = 2-2\alpha \;\Longrightarrow\; \alpha = 4

De la primera y la tercera (con

\alpha=4

\frac{2-4}{2} = \beta-4 \;\Longrightarrow\; -1 = \beta-4 \;\Longrightarrow\; \beta = 3

Los puntos de apoyo.

P = (4,\, 4,\, 4) \in r \qquad Q = (2,\, 1,\, 3) \in s

\vec{PQ} = (-2,\, -3,\, -1) = -\,(2,3,1) = -\vec{u_{t}} \quad \checkmark

La recta pedida, por

P(4,4,4)

con dirección

(2,3,1)

\begin{cases} x = 4+2\mu \\ y = 4+3\mu \\ z = 4+\phantom{3}\mu\end{cases} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{x-4}{2} = \frac{y-4}{3} = \frac{z-4}{1}

Comprobación. Para

\mu = -1

se obtiene

(2,1,3) = Q\in s

\;\checkmark

, y para

\mu=0

P\in r

\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La estrategia es siempre la misma: un punto genérico en cada recta y una condición sobre $\vec{PQ}$ . Aquí la condición es el paralelismo con $\vec{u_{t}}$ , es decir, proporcionalidad de componentes.

La recta $s$ (dada por $x=2$ , $y=1$ ) tiene director $(0,0,1)$ y punto genérico $(2,1,\beta)$ . Reconocer que es vertical simplifica mucho el planteamiento.

Comprueba al final que $\vec{PQ}$ es proporcional a $\vec{u_{t}}$ (aquí sale $-\vec{u_{t}}$ , lo cual es correcto: define la misma dirección) y que $P$ y $Q$ están en sus rectas.