Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2022 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 8 (bloque B). Considera las rectas

r \equiv x = 1 - y = z \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} \phantom{3}x + y - 3z = \phantom{-}4 \\ 3x - y + \phantom{3}z = -2 \end{cases}

a) [1,5 puntos] Estudia la posición relativa de

r

s

.

b) [1 punto] Calcula la ecuación del plano que contiene a

s

y es paralelo a

r

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{d}_{r} = (1,-1,1), \quad \vec{d}_{s} = (1,5,2), \quad \bigl[\vec{PQ},\vec{d}_{r},\vec{d}_{s}\bigr] = -6 \neq 0\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad r \text{ y } s \textbf{ se cruzan}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \pi \equiv 7x + y - 6z - 7 = 0\;}

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Estrategia

Para la posición relativa de dos rectas, el guion es siempre el mismo:

¿Son los directores proporcionales? Si sí, son paralelas o coincidentes.
Si no, se calcula el producto mixto $\bigl[\vec{PQ}, \vec{d}_{r}, \vec{d}_{s}\bigr]$ : si se anula, son coplanarias y por tanto secantes; si no se anula, se cruzan.

El director de

s

hay que obtenerlo con un producto vectorial, porque viene dada como intersección de dos planos.

En b), el plano contiene a

s

(punto y dirección) y es paralelo a

r

(segunda dirección). Como los directores no son proporcionales, ese plano existe y es único. Y como las rectas se cruzan,

r

queda fuera de él, así que es paralela en sentido estricto (si se cortaran, el plano contendría también a

r

Desarrollo

Datos de $r$ . De

x = 1 - y = z = t

r \equiv \bigl(t,\; 1 - t,\; t\bigr) \;\Longrightarrow\; P(0, 1, 0), \qquad \vec{d}_{r} = (1, -1, 1)

Datos de $s$ . El director es el producto vectorial de los dos normales:

\vec{d}_{s} = (1, 1, -3) \times (3, -1, 1) = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -3 \\ 3 & -1 & 1 \end{array}\right|

\vec{i}: \; 1\cdot 1 - (-3)(-1) = 1 - 3 = -2

\vec{j}: \; -\Bigl[1\cdot 1 - (-3)\cdot 3\Bigr] = -\bigl[1 + 9\bigr] = -10

\vec{k}: \; 1\cdot(-1) - 1\cdot 3 = -4

\vec{d}_{s} = (-2, -10, -4) \;\longrightarrow\; \text{simplificando entre } -2: \quad \vec{d}_{s} = (1, 5, 2)

Un punto de $s$ . Haciendo

z = 0

en el sistema:

\begin{cases} x + y = \phantom{-}4 \\ 3x - y = -2 \end{cases} \;\Longrightarrow\; 4x = 2 \;\Longrightarrow\; x = \frac{1}{2}, \quad y = \frac{7}{2}

Q\left(\frac{1}{2},\; \frac{7}{2},\; 0\right)

a) Posición relativa.

¿Son paralelas?

\;\vec{d}_{r} = (1,-1,1)

\vec{d}_{s} = (1,5,2)

no son proporcionales (basta ver que

\frac{1}{1} = 1

pero

\frac{-1}{5} \neq 1

). Luego no son paralelas ni coincidentes.

¿Son coplanarias? Calculamos el producto mixto con

\vec{PQ} = Q - P = \left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}, 0\right)

\bigl[\vec{PQ},\, \vec{d}_{r},\, \vec{d}_{s}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 5 & 2 \end{array}\right|

= \frac{1}{2}\bigl((-1)\cdot 2 - 1\cdot 5\bigr) - \frac{5}{2}\bigl(1\cdot 2 - 1\cdot 1\bigr) + 0 = \frac{1}{2}\,(-7) - \frac{5}{2}\,(1) = -\frac{7}{2} - \frac{5}{2} = -6

Como el producto mixto no se anula, las rectas no son coplanarias:

r \text{ y } s \textbf{ se cruzan}

b) Plano que contiene a $s$ y es paralelo a $r$ .

Pasa por

Q\left(\frac{1}{2}, \frac{7}{2}, 0\right)

y lleva las direcciones

\vec{d}_{s}

\vec{d}_{r}

\vec{n} = \vec{d}_{s} \times \vec{d}_{r} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right|

\vec{i}: \; 5\cdot 1 - 2\cdot(-1) = 5 + 2 = 7

\vec{j}: \; -\bigl[1\cdot 1 - 2\cdot 1\bigr] = -(-1) = 1

\vec{k}: \; 1\cdot(-1) - 5\cdot 1 = -6

\vec{n} = (7, 1, -6)

Ecuación. Imponiendo el paso por

Q

7\left(x - \frac{1}{2}\right) + 1\left(y - \frac{7}{2}\right) - 6\,(z - 0) = 0

7x - \frac{7}{2} + y - \frac{7}{2} - 6z = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv 7x + y - 6z - 7 = 0

Comprobaciones.

$\vec{d}_{r}\cdot\vec{n} = 7 - 1 - 6 = 0$ , luego $r$ es paralela al plano $\checkmark$
El punto $P(0,1,0)$ de $r$ da $\;0 + 1 - 0 - 7 = -6 \neq 0$ : $r$ no está contenida en $\pi$ , así que es estrictamente paralela $\checkmark$
El punto $Q$ pertenece a $\pi$ por construcción, y $\vec{d}_{s}\cdot\vec{n} = 7 + 5 - 12 = 0$ , luego $s$ sí está contenida $\checkmark$

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Sigue el orden: primero mira si los directores son proporcionales y solo después calcula el producto mixto. Si te lanzas al producto mixto sin comprobar el paralelismo, un resultado nulo te dejaría sin saber si son secantes o paralelas.

Simplifica $\vec{d}_{s}$ dividiendo entre $-2$ antes de seguir. Arrastrar $(-2,-10,-4)$ por el producto mixto y el producto vectorial multiplica los números por $-2$ y te expone a errores de signo sin ninguna ventaja: cualquier múltiplo del director sirve igual.