Rectas y planos

Datos. De las ecuaciones continuas:$$R(0,\ 2,\ k) \in r, \quad \vec{v}_{r} = (1,\ -1,\ 2) \qquad\qquad S(-2,\ -3,\ 1) \in s, \quad \vec{v}_{s} = (-1,\ 2,\ 1)$$Los directores no son proporcionales ($\frac{1}{-1} = -1$ pero $\frac{-1}{2} \neq -1$), así que las rectas no son paralelas: o se cortan o se cruzan.

a) Que se corten equivale a que $\vec{v}_r$, $\vec{v}_s$ y $\overrightarrow{RS}$ sean coplanarios, es decir, a que el producto mixto se anule. Con$$\overrightarrow{RS} = S - R = (-2,\ -5,\ 1-k)$$$$\bigl[\vec{v}_{r},\ \vec{v}_{s},\ \overrightarrow{RS}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ -2 & -5 & 1-k \end{array}\right|$$Desarrollando por la primera fila:$$= 1\bigl(2(1-k) + 5\bigr) + 1\bigl(-(1-k) + 2\bigr) + 2\bigl(5 + 4\bigr) = (7 - 2k) + (k + 1) + 18 = 26 - k$$$$26 - k = 0 \;\Longrightarrow\; k = 26$$Comprobación resolviendo el corte. En paramétricas, $r \equiv (t,\ 2-t,\ k+2t)$ y $s \equiv (-2-\lambda,\ -3+2\lambda,\ 1+\lambda)$. Igualando las dos primeras coordenadas:$$t = -2 - \lambda, \qquad 2 - t = -3 + 2\lambda \;\Longrightarrow\; 4 + \lambda = -3 + 2\lambda \;\Longrightarrow\; \lambda = 7,\quad t = -9$$y de la tercera, $k + 2(-9) = 1 + 7 = 8$, o sea $k = 26$. El punto de corte es $(-9,\ 11,\ 8)$.

b) Con $k = 0$ la recta pasa por $R(0, 2, 0)$. El plano $\pi$ contiene a $r$ y es paralelo a $s$, luego tiene direcciones $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ y su normal es$$\vec{n} = \vec{v}_{r} \times \vec{v}_{s} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \end{array}\right| = (-1 - 4)\,\vec{i} - (1 + 2)\,\vec{j} + (2 - 1)\,\vec{k} = (-5,\ -3,\ 1)$$Imponiendo que pase por $R(0,2,0)$:$$-5(x - 0) - 3(y - 2) + 1(z - 0) = 0 \;\Longrightarrow\; -5x - 3y + 6 + z = 0$$$$\pi \equiv 5x + 3y - z - 6 = 0$$Comprobaciones. $R(0,2,0)$: $0 + 6 - 0 - 6 = 0$ ✓. Otro punto de $r$, $R + \vec{v}_r = (1,1,2)$: $5 + 3 - 2 - 6 = 0$ ✓. Paralelismo con $s$: $\vec{n}\cdot\vec{v}_s = -5 + 6 - 1 = 0$ ✓, y $S(-2,-3,1)$ da $-10 - 9 - 1 - 6 = -26 \neq 0$, luego $s$ es paralela al plano y no está contenida en él ✓.