Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2009 · Reserva 6 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Sea el punto

P(2,3,-1)

y la recta

r

definida por

r \equiv \begin{cases} x+y+2z = 1 \\ x-2y-4z = 1\end{cases}

a) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por $P$ y contiene a $r$ .

b) [1,25 puntos] Halla el punto de $r$ que está más cerca de $P$ .

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec u = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = (0,6,-3)\sim(0,2,-1), \quad A(1,0,0)\in r\;}

\boxed{\;\vec{AP} = (1,3,-1), \qquad \vec n = \vec u\times\vec{AP} = (1,-1,-2)\;}

\boxed{\;\text{a) } \pi\colon x-y-2z-1 = 0\;}

\boxed{\;\text{b) } \vec{PQ}\cdot\vec u = 5t-7 = 0 \Rightarrow Q\left(1,\; \tfrac{14}{5},\; -\tfrac75\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Plano por un punto de $r$ con dos direcciones: $\vec u$ (director de $r$ ) y $\vec{AP}$ , con $A\in r$ . Normal $=\vec u\times\vec{AP}$ .

(Para que el plano exista, $P$ no debe estar en $r$ ; si lo estuviera, habría infinitos planos.)

b) El punto de $r$ más cercano a $P$ es el pie de la perpendicular: se toma el punto genérico $Q(t)$ de $r$ y se impone

\vec{PQ}\cdot\vec u = 0

Desarrollo

El director de $r$ . Con

\vec{n_{1}} = (1,1,2)

\vec{n_{2}} = (1,-2,-4)

\vec u = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -4\end{array}\right|

\vec i: (1)(-4)-(2)(-2) = 0 \qquad \vec j: -\bigl[(1)(-4)-(2)(1)\bigr] = 6 \qquad \vec k: (1)(-2)-(1)(1) = -3

\vec u = (0,\, 6,\, -3) \;\sim\; (0,\, 2,\, -1)

Un punto de $r$ . Con

z = 0

\;x+y = 1

x-2y = 1

, luego

3y = 0 \Rightarrow y = 0

x = 1

A(1,\,0,\,0)

(Comprobación: $\;1+0+0 = 1$ $\checkmark$ y $\;1-0-0 = 1$ $\checkmark$ )

a) El plano por $P$ que contiene a $r$ .

\vec{AP} = P-A = (2-1,\; 3-0,\; -1-0) = (1,\; 3,\; -1)

\vec n = \vec u\times\vec{AP} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & -1\end{array}\right|

\vec i: (2)(-1)-(-1)(3) = 1 \qquad \vec j: -\bigl[(0)(-1)-(-1)(1)\bigr] = -1 \qquad \vec k: (0)(3)-(2)(1) = -2

\vec n = (1,\, -1,\, -2)

Con $A(1,0,0)$ :

1\,(x-1)-1\,(y-0)-2\,(z-0) = 0 \;\Longrightarrow\; x-y-2z-1 = 0

Comprobaciones.

P(2,3,-1): \ 2-3+2-1 = 0 \;\checkmark \qquad A(1,0,0): \ 1-0-0-1 = 0 \;\checkmark

b) El punto de $r$ más cercano a $P$ . Punto genérico:

Q(t) = A+t\,\vec u = (1,\; 2t,\; -t)

\vec{PQ} = Q-P = (1-2,\; 2t-3,\; -t+1) = (-1,\; 2t-3,\; 1-t)

Imponemos la perpendicularidad:

\vec{PQ}\cdot\vec u = 0\cdot(-1)+2\,(2t-3)+(-1)(1-t) = 4t-6-1+t = 5t-7 = 0

t = \frac75 \;\Longrightarrow\; Q = \left(1,\; \frac{14}{5},\; -\frac75\right)

Comprobación.

\;\vec{PQ} = \left(-1,\; -\frac15,\; -\frac25\right)

\vec{PQ}\cdot\vec u = 0-\frac25+\frac25 = 0 \;\checkmark

Y la distancia mínima, de propina:

d(P,r) = \bigl|\vec{PQ}\bigr| = \sqrt{1+\frac{1}{25}+\frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{30}{25}} = \frac{\sqrt{30}}{5} \approx 1{,}10

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Plano que pasa por $P$ y contiene a $r$ ": las dos direcciones son $\vec u$ y $\vec{AP}$ . Si $P$ estuviera en $r$ , el producto vectorial saldría $\vec 0$ y habría infinitos planos.

El punto más cercano de una recta es siempre el pie de la perpendicular: se caracteriza por $\vec{PQ}\cdot\vec u = 0$ . No hace falta minimizar ninguna función.

Simplifica el director $(0,6,-3)$ a $(0,2,-1)$ antes de operar: los números se mantienen pequeños en todo el problema.