Ejercicio 7 (bloque B). Considera las rectas r \equiv x + 1 = y - a = -z \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x = 5 + 2\lambda \\ y = -3 \\ z = 2 - \lambda \end{cases} a) [1,5 puntos] Calcula a para que r y s se corten. Determina dicho punto de corte. b) [1 punto] Halla la ecuación del plano que pasa por P(8, -7, 2) y que contiene a la recta s.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2022 · Julio

Enunciado

Ejercicio 7 (bloque B). Considera las rectas

r \equiv x + 1 = y - a = -z \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x = 5 + 2\lambda \\ y = -3 \\ z = 2 - \lambda \end{cases}

a) [1,5 puntos] Calcula

a

para que

r

s

se corten. Determina dicho punto de corte.

b) [1 punto] Halla la ecuación del plano que pasa por

P(8, -7, 2)

y que contiene a la recta

s

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad a = 7; \qquad \text{punto de corte } (-11,\, -3,\, 10)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \pi \equiv 4x + 3y + 8z - 27 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), "cortarse" equivale a que los dos vectores directores y el vector que une un punto de cada recta sean coplanarios, es decir, que el producto mixto se anule. Eso da una ecuación de primer grado en

a

. Después hay que hallar el punto igualando las paramétricas.

En b), un plano que contiene una recta lleva su punto y su vector director; el segundo vector director sale de unir ese punto con

P

. Con dos direcciones y un punto, el vector normal es un producto vectorial.

Un detalle que conviene comprobar: que

P

no esté sobre

s

(si lo estuviera, habría infinitos planos y el problema no tendría solución única).

Desarrollo

Datos de las rectas. De la ecuación continua de

r

, escribiéndola como

\dfrac{x+1}{1} = \dfrac{y-a}{1} = \dfrac{z}{-1}

R(-1,\, a,\, 0), \qquad \vec{d}_{r} = (1, 1, -1)

De las paramétricas de

s

S(5,\, -3,\, 2), \qquad \vec{d}_{s} = (2, 0, -1)

\vec{RS} = S - R = (6,\, -3-a,\, 2)

a) Condición de corte.

\bigl[\vec{RS},\, \vec{d}_{r},\, \vec{d}_{s}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} 6 & -3-a & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & -1 \end{array}\right| = 0

Desarrollando por la primera fila:

= 6\bigl(1\cdot(-1) - (-1)\cdot 0\bigr) - (-3-a)\bigl(1\cdot(-1) - (-1)\cdot 2\bigr) + 2\bigl(1\cdot 0 - 1\cdot 2\bigr)

= 6\,(-1) + (3+a)\,(1) + 2\,(-2) = -6 + 3 + a - 4 = a - 7

a - 7 = 0 \;\Longrightarrow\; a = 7

(Y no son paralelas: $\vec{d}_{r} = (1,1,-1)$ no es proporcional a $\vec{d}_{s} = (2,0,-1)$ , porque la segunda coordenada de $\vec{d}_{s}$ es $0$ y la de $\vec{d}_{r}$ no. Luego efectivamente se cortan.)

Punto de corte. Con

a = 7

, las paramétricas de

r

son

(-1+t,\, 7+t,\, -t)

. Igualando con las de

s

7 + t = -3 \;\Longrightarrow\; t = -10

r: \quad \bigl(-1 - 10,\; 7 - 10,\; 10\bigr) = (-11,\, -3,\, 10)

Comprobación en $s$ :

\;5 + 2\lambda = -11 \Longrightarrow \lambda = -8

, y entonces

z = 2 - (-8) = 10\;\checkmark

.

El punto de corte es

(-11,\, -3,\, 10)

.

b) El plano. Contiene a

s

, luego pasa por

S(5,-3,2)

y lleva la dirección

\vec{d}_{s} = (2,0,-1)

. Como además pasa por

P(8,-7,2)

, lleva también la dirección

\vec{SP} = P - S = (3,\, -4,\, 0)

(Y $P \notin s$ : en $s$ todos los puntos tienen $y = -3$ , mientras que $P$ tiene $y = -7$ . El plano es único.)

Vector normal.

\vec{n} = \vec{d}_{s} \times \vec{SP} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & -1 \\ 3 & -4 & 0 \end{array}\right| = \bigl(0 - 4\bigr)\vec{i} - \bigl(0 + 3\bigr)\vec{j} + \bigl(-8 - 0\bigr)\vec{k} = (-4, -3, -8)

Cambiando de signo,

\vec{n} = (4, 3, 8)

.

Ecuación. Imponiendo el paso por

S(5,-3,2)

4(x - 5) + 3(y + 3) + 8(z - 2) = 0 \;\Longrightarrow\; 4x + 3y + 8z - 20 + 9 - 16 = 0

\pi \equiv 4x + 3y + 8z - 27 = 0

Comprobación.

P(8,-7,2) \to 32 - 21 + 16 - 27 = 0\;\checkmark

S(5,-3,2) \to 20 - 9 + 16 - 27 = 0\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La recta $s$ tiene $y = -3$ constante: aprovéchalo. Igualando esa coordenada con la de $r$ sale $t$ de una sola ecuación, sin resolver ningún sistema. Cuando una paramétrica trae una coordenada fija, casi siempre es el atajo.

Y antes de dar por bueno el apartado a), comprueba que las rectas no son paralelas. El producto mixto nulo solo garantiza coplanariedad; si además fueran paralelas, no se cortarían y la respuesta sería que no existe tal $a$ .