Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2019 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera la recta

r \equiv \begin{cases} \phantom{-}x + y + 2 = 0 \\ -y + z + 5 = 0\end{cases}

y el plano

\pi \equiv 2x + y - mz = 1

.

a) [1,25 puntos] Calcula

m

sabiendo que

r

\pi

son paralelos.

b) [1,25 puntos] Para

m = -1

, calcula la distancia entre

r

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{d}_{r} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2} = (1,-1,-1), \qquad P(-7,5,0)\in r\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad (2,1,-m)\cdot(1,-1,-1) = m + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; m = -1\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad d(r,\pi) = \frac{|{-14}+5-1|}{\sqrt{6}} = \frac{10}{\sqrt6} = \frac{5\sqrt6}{3} \approx 4{,}08\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La recta viene como intersección de dos planos, así que su director es el producto vectorial de los dos normales.

a) Recta paralela a plano $\Longleftrightarrow$ $\vec{n}_{\pi}\cdot\vec{d}_{r} = 0$ . Ecuación de primer grado en $m$ .
b) Como el valor $m = -1$ es justo el que hace paralelos recta y plano, la distancia es constante y se calcula tomando cualquier punto de $r$ y midiendo su distancia al plano. Antes hay que confirmar que la recta no está contenida en $\pi$ (si lo estuviera, la distancia sería $0$ ).

Desarrollo

Vector director de $r$ . Los normales son

\vec{n}_{1} = (1,1,0)

\vec{n}_{2} = (0,-1,1)

\vec{d} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right|

\vec{i}: \; (1)(1) - (0)(-1) = 1

\vec{j}: \; -\Bigl[(1)(1) - (0)(0)\Bigr] = -1

\vec{k}: \; (1)(-1) - (1)(0) = -1

\vec{d} = (1,\, -1,\, -1)

Un punto de $r$ . Haciendo

z = 0

: de la segunda ecuación

-y + 5 = 0 \Rightarrow y = 5

, y de la primera

x = -y - 2 = -7

P(-7,\, 5,\, 0) \in r

a) Condición de paralelismo. El normal del plano es

\vec{n}_{\pi} = (2, 1, -m)

\vec{n}_{\pi}\cdot\vec{d} = 2\cdot 1 + 1\cdot(-1) + (-m)(-1) = 2 - 1 + m = m + 1

m + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; m = -1

b) Caso $m = -1$ . El plano es

\pi \equiv 2x + y + z = 1 \;\Longleftrightarrow\; 2x + y + z - 1 = 0

¿Está contenida la recta? Sustituimos

P(-7,5,0)

2(-7) + 5 + 0 - 1 = -14 + 5 - 1 = -10 \neq 0

P\notin\pi

: la recta es estrictamente paralela al plano, y la distancia es la misma desde cualquiera de sus puntos.

Distancia.

d(r,\pi) = d(P,\pi) = \frac{\bigl|2(-7) + 5 + 0 - 1\bigr|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{|-10|}{\sqrt{6}} = \frac{10}{\sqrt6}

Racionalizando:

d(r,\pi) = \frac{10\sqrt6}{6} = \frac{5\sqrt6}{3} \approx 4{,}08 \ \text{unidades}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Justifica que la recta no está contenida en el plano antes de dar una distancia. El producto escalar nulo cubre los dos casos —paralela o contenida— y en el segundo la respuesta sería $0$ . Sustituir un punto cuesta una línea y cierra el razonamiento.

Ojo con los signos del normal: en $\pi \equiv 2x + y - mz = 1$ el coeficiente de $z$ es $-m$ , así que $\vec{n} = (2,1,-m)$ . Escribir $(2,1,m)$ te llevaría a $m = 1$ , un valor que ni siquiera hace paralelos recta y plano.

Y pasa el plano a la forma $Ax+By+Cz+D = 0$ antes de aplicar la fórmula de la distancia: el término independiente debe ir al primer miembro (aquí, $D = -1$ , no $+1$ ).