Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2008 · Reserva 5 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. [2,5 puntos] Dados los puntos

A(2,1,-1)

B(-2,3,1)

y la recta

r

definida por las ecuaciones

r \equiv \begin{cases} x-y-z = -1 \\ 3x-2z = -5\end{cases}

halla las coordenadas de un punto de la recta

r

que equidiste de los puntos

A

B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec u = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = (2,-1,3), \quad P_{0}(-1,-1,1)\in r\;}

\boxed{\;Q(t) = (-1+2t,\; -1-t,\; 1+3t)\;}

\boxed{\;\bigl|\vec{QA}\bigr|^{2} = 14t^{2}+4t+17, \quad \bigl|\vec{QB}\bigr|^{2} = 14t^{2}+12t+17\;}

\boxed{\;8t = 0 \;\Longrightarrow\; t = 0: \quad Q(-1,\,-1,\,1), \ d = \sqrt{17}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos caminos equivalentes:

Directo: tomar el punto genérico $Q(t)$ de $r$ e imponer

\bigl|\vec{QA}\bigr|^{2} = \bigl|\vec{QB}\bigr|^{2}

(con los cuadrados, para no arrastrar raíces). Los términos cuadráticos se cancelan y queda una ecuación de primer grado.

Geométrico: cortar $r$ con el plano mediador del segmento $AB$ .

Usamos el primero, que es más corto.

Desarrollo

El director de $r$ . Con

\vec{n_{1}} = (1,-1,-1)

\vec{n_{2}} = (3,0,-2)

\vec u = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -1 & -1 \\ 3 & 0 & -2\end{array}\right|

\vec i: (-1)(-2)-(-1)(0) = 2 \qquad \vec j: -\bigl[(1)(-2)-(-1)(3)\bigr] = -1 \qquad \vec k: (1)(0)-(-1)(3) = 3

\vec u = (2,\, -1,\, 3)

Un punto de $r$ . Con

z = 1

: de la segunda,

3x = -5+2 = -3 \Rightarrow x = -1

; de la primera,

-1-y-1 = -1 \Rightarrow y = -1

P_{0}(-1,\,-1,\,1)

(Comprobación: $\;-1+1-1 = -1$ $\checkmark$ y $\;-3-2 = -5$ $\checkmark$ )

El punto genérico.

Q(t) = (-1+2t,\; -1-t,\; 1+3t)

La condición de equidistancia.

\vec{QA} = A-Q = (3-2t,\; 2+t,\; -2-3t)

\vec{QB} = B-Q = (-1-2t,\; 4+t,\; -3t)

\bigl|\vec{QA}\bigr|^{2} = (3-2t)^{2}+(2+t)^{2}+(2+3t)^{2}

= 9-12t+4t^{2}+4+4t+t^{2}+4+12t+9t^{2} = 14t^{2}+4t+17

\bigl|\vec{QB}\bigr|^{2} = (1+2t)^{2}+(4+t)^{2}+9t^{2}

= 1+4t+4t^{2}+16+8t+t^{2}+9t^{2} = 14t^{2}+12t+17

Igualando (los términos en

t^{2}

y las constantes se cancelan):

14t^{2}+4t+17 = 14t^{2}+12t+17 \;\Longrightarrow\; 4t = 12t \;\Longrightarrow\; 8t = 0 \;\Longrightarrow\; t = 0

Q = (-1,\,-1,\,1)

Es el propio punto $P_{0}$ .

Comprobación.

\bigl|\vec{QA}\bigr|^{2} = 3^{2}+2^{2}+(-2)^{2} = 9+4+4 = 17

\bigl|\vec{QB}\bigr|^{2} = (-1)^{2}+4^{2}+0^{2} = 1+16 = 17 \;\checkmark

d(Q,A) = d(Q,B) = \sqrt{17} \approx 4{,}12

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Impón la igualdad de cuadrados de distancias: los términos en $t^{2}$ se cancelan siempre y queda una ecuación de primer grado, con solución única.

Alternativa igual de válida: cortar $r$ con el plano mediador de $AB$ (normal $\vec{AB}$ , pasa por el punto medio). Da lo mismo con parecido esfuerzo.

Que salga $t = 0$ no es sospechoso: significa que el punto de $r$ que eligiste como referencia ya cumplía la condición. Compruébalo con las distancias y sigue adelante.