Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2008 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Sea la recta

s

dada por

s \equiv \begin{cases} x-z = -1 \\ 2y+z = 3\end{cases}

a) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano

\pi_{1}

que es paralelo a la recta $s$ y que contiene a la recta $r$ , dada por

r \equiv x-1 = -y+2 = z-3

b) [1,25 puntos] Estudia la posición relativa de la recta

s

y el plano

\pi_{2}

, de ecuación

\;x+y = 3

, y deduce la distancia entre ambos.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{u_{r}} = (1,-1,1), \ A(1,2,3); \qquad \vec{u_{s}} = (2,-1,2), \ B\left(-1,\tfrac32,0\right)\;}

\boxed{\;\vec n = \vec{u_{r}}\times\vec{u_{s}} = (-1,0,1) \;\Longrightarrow\; \pi_{1}\colon x-z+2 = 0\;}

\boxed{\;\vec{u_{s}}\cdot\vec{n_{2}} = 2-1+0 = 1 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{secantes}\;}

\boxed{\;\text{Corte en } (4,-1,5) \;\Longrightarrow\; d\bigl(s,\pi_{2}\bigr) = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Plano por un punto de $r$ con dos direcciones: $\vec{u_{r}}$ (para contenerla) y $\vec{u_{s}}$ (para ser paralelo a $s$ ). Normal $=\vec{u_{r}}\times\vec{u_{s}}$ .
b) Basta con el producto escalar $\vec{u_{s}}\cdot\vec{n_{2}}$ :

- si es

0

, la recta es paralela al plano (o está contenida) y la distancia se calcula con un punto,
- si no es

0

, la recta corta al plano y la distancia es, por tanto, $0$ .

Desarrollo

Datos de $r$ . De

\;\dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y-2}{-1} = \dfrac{z-3}{1}

\vec{u_{r}} = (1,\, -1,\, 1) \qquad A(1,\,2,\,3)

Datos de $s$ . Con

\vec{m_{1}} = (1,0,-1)

\vec{m_{2}} = (0,2,1)

\vec{u_{s}} = \vec{m_{1}}\times\vec{m_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right|

\vec i: (0)(1)-(-1)(2) = 2 \qquad \vec j: -\bigl[(1)(1)-(-1)(0)\bigr] = -1 \qquad \vec k: (1)(2)-(0)(0) = 2

\vec{u_{s}} = (2,\, -1,\, 2)

Un punto de

s

: con

z = 0

\;x = -1

y = \frac32

, luego

B\left(-1,\tfrac32,0\right)

.

a) El plano $\pi_{1}$ .

\vec n = \vec{u_{r}}\times\vec{u_{s}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 2\end{array}\right|

\vec i: (-1)(2)-(1)(-1) = -1 \qquad \vec j: -\bigl[(1)(2)-(1)(2)\bigr] = 0 \qquad \vec k: (1)(-1)-(-1)(2) = 1

\vec n = (-1,\, 0,\, 1)

Con $A(1,2,3)$ :

-1\,(x-1)+0+1\,(z-3) = 0 \;\Longrightarrow\; -x+z-2 = 0

\pi_{1}\colon\; x-z+2 = 0

Comprobaciones.

Otro punto de $r$ (con parámetro

1

(2,1,4)

\;2-4+2 = 0

\;\checkmark

El punto $B$ de $s$ :

\;-1-0+2 = 1 \neq 0

\;\checkmark

(paralela, no contenida)

b) La recta $s$ y el plano $\pi_{2}\colon x+y = 3$ .

\vec{n_{2}} = (1,\, 1,\, 0)

\vec{u_{s}}\cdot\vec{n_{2}} = (2)(1)+(-1)(1)+(2)(0) = 2-1 = 1 \neq 0

\textbf{La recta corta al plano: son secantes}

El punto de corte. Parametrizando

s

con

z = t

: de

x-z = -1

\;x = t-1

; de

2y+z = 3

\;y = \dfrac{3-t}{2}

s \equiv \left(t-1,\; \frac{3-t}{2},\; t\right)

\pi_{2}

(t-1)+\frac{3-t}{2} = 3 \;\Longrightarrow\; 2t-2+3-t = 6 \;\Longrightarrow\; t = 5

\text{Punto de corte: } (4,\,-1,\,5)

(Comprobación: $\;4+(-1) = 3$ $\checkmark$ )

La distancia. Como la recta y el plano tienen un punto común:

d\bigl(s,\pi_{2}\bigr) = 0

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Ojo al leer $\;x-1 = -y+2 = z-3$ : el segundo miembro es $\dfrac{y-2}{-1}$ , así que la segunda componente del director es $-1$ . Es el despiste que más veces estropea este ejercicio.

"Deducir la distancia" no siempre exige calcularla: si la recta corta al plano, la distancia es $0$ por definición. Basta con justificar que son secantes.

Aun así, merece la pena hallar el punto de corte: confirma la conclusión y cuesta dos líneas más.