Opción B · Ejercicio 4. Sean los puntos A(1,1,1), B(-1,2,0), C(2,1,2) y D(t,-2,2). a) [1,25 puntos] Determina el valor de t para que A, B, C y D estén en el mismo plano. b) [1,25 puntos] Halla la ecuación de un plano perpendicular al segmento determinado por A y B, que contenga al punto C.

Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2010 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Sean los puntos

A(1,1,1)

B(-1,2,0)

C(2,1,2)

D(t,-2,2)

.

a) [1,25 puntos] Determina el valor de

t

para que

A

B

C

D

estén en el mismo plano.

b) [1,25 puntos] Halla la ecuación de un plano perpendicular al segmento determinado por

A

B

, que contenga al punto

C

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{AB} = (-2,1,-1), \ \vec{AC} = (1,0,1), \ \vec{AD} = (t-1,-3,1)\;}

\boxed{\;\det\bigl(\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}\bigr) = t-5\;}

\boxed{\;\text{a) Coplanarios} \iff t = 5\;}

\boxed{\;\text{b) } \vec n = \vec{AB}: \ -2(x-2)+(y-1)-(z-2) = 0 \Rightarrow 2x-y+z-5 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Cuatro puntos son coplanarios $\iff$ los tres vectores que los unen desde uno de ellos son linealmente dependientes:

\det\bigl(\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}\bigr) = 0

Sale una ecuación de primer grado en

t

b) "Perpendicular al segmento $AB$ " significa que $\vec{AB}$ es el vector normal del plano. Con el normal y el punto $C$ , la ecuación es inmediata.

Desarrollo

Los vectores desde $A$ .

\vec{AB} = B-A = (-2,\; 1,\; -1)

\vec{AC} = C-A = (1,\; 0,\; 1)

\vec{AD} = D-A = (t-1,\; -3,\; 1)

a) La condición de coplanariedad.

\det\bigl(\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}\bigr) = \begin{vmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ t-1 & -3 & 1\end{vmatrix}

Desarrollamos por la segunda fila (tiene un cero):

= -1\cdot\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -3 & 1\end{vmatrix}+0-1\cdot\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ t-1 & -3\end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -3 & 1\end{vmatrix} = 1-3 = -2 \qquad \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ t-1 & -3\end{vmatrix} = 6-(t-1) = 7-t

= -1\,(-2)-1\,(7-t) = 2-7+t = t-5

t-5 = 0 \;\Longrightarrow\; t = 5

Comprobación. Con

t = 5

\vec{AD} = (4,-3,1)

, y resulta ser combinación de los otros dos:

-3\,\vec{AB}-2\,\vec{AC} = (6,-3,3)+(-2,0,-2) = (4,-3,1) = \vec{AD} \;\checkmark

Los tres vectores son linealmente dependientes, luego los cuatro puntos son coplanarios.

b) El plano perpendicular a $AB$ por $C$ . El normal es

\vec n = \vec{AB} = (-2,\; 1,\; -1)

Con el punto

C(2,1,2)

-2\,(x-2)+1\,(y-1)-1\,(z-2) = 0

-2x+4+y-1-z+2 = 0 \;\Longrightarrow\; -2x+y-z+5 = 0

\pi\colon\; 2x-y+z-5 = 0

Comprobaciones.

C(2,1,2): \ 4-1+2-5 = 0 \;\checkmark

El normal es paralelo a $\vec{AB}$ :

\;(2,-1,1) = -\vec{AB}

\;\checkmark

(Nota: se pide un plano perpendicular a $AB$ que pase por $C$ ; solo hay uno, porque el normal queda fijado por $\vec{AB}$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Coplanariedad de cuatro puntos = determinante nulo de los tres vectores desde uno cualquiera de ellos. Da igual cuál elijas como origen: la condición es la misma.

"Perpendicular al segmento $AB$ " significa normal $=\vec{AB}$ . No lo confundas con "que contiene a $AB$ ", donde $\vec{AB}$ sería una dirección del plano, no el normal.

Desarrolla el determinante por la fila o columna con más ceros (aquí la segunda fila): con parámetro dentro, cada término que te ahorras es un error menos.