Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2021 · Julio

Enunciado

Ejercicio 7 (bloque B). La recta perpendicular desde el punto

A(1,1,0)

a un cierto plano

\pi

corta a éste en el punto

B\left(1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)

.

a) [1,5 puntos] Calcula la ecuación del plano

\pi

.

b) [1 punto] Halla la distancia del punto

A

a su simétrico respecto a

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \pi \equiv y - z = 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad d(A, A') = 2\,\bigl\lVert\vec{AB}\bigr\rVert = \sqrt{2} \approx 1{,}41 \quad (\text{con } A'(1,0,1))\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El enunciado da, sin decirlo con esas palabras, el pie de la perpendicular:

B

es la proyección ortogonal de

A

sobre

\pi

. De ahí salen las dos cosas que hacen falta:

El vector $\vec{AB}$ es perpendicular al plano, luego sirve como vector normal.
El punto $B$ pertenece al plano.

Con normal y punto, la ecuación es inmediata.

En b) no hace falta calcular el simétrico: por definición, el pie de la perpendicular es el punto medio entre

A

A'

, así que

d(A, A') = 2\,d(A, B) = 2\,\bigl\lVert\vec{AB}\bigr\rVert

Desarrollo

Vector normal.

\vec{AB} = B - A = \left(1 - 1,\; \frac{1}{2} - 1,\; \frac{1}{2} - 0\right) = \left(0,\; -\frac{1}{2},\; \frac{1}{2}\right)

Multiplicando por

2

para quitar las fracciones (cualquier múltiplo sirve como normal):

\vec{n} = (0,\, -1,\, 1)

a) Ecuación del plano. Imponiendo el paso por

B\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)

0\,(x - 1) - 1\left(y - \frac{1}{2}\right) + 1\left(z - \frac{1}{2}\right) = 0

-y + \frac{1}{2} + z - \frac{1}{2} = 0 \;\Longrightarrow\; -y + z = 0

\pi \equiv y - z = 0

(Comprobación: $B$ da $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0\;\checkmark$ . Y $A(1,1,0)$ da $1 - 0 = 1 \neq 0$ , luego $A$ no está en el plano, como debe ser.)

b) Distancia de $A$ a su simétrico.

\bigl\lVert\vec{AB}\bigr\rVert = \sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Como

B

es el punto medio del segmento

AA'

d(A, A') = 2\,\bigl\lVert\vec{AB}\bigr\rVert = 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1{,}41 \ \text{unidades}

Comprobación explícita. El simétrico es

A' = A + 2\,\vec{AB} = (1,1,0) + (0,-1,1) = (1,\, 0,\, 1)

que efectivamente cumple

\;d(A,A') = \lVert(0,-1,1)\rVert = \sqrt{2}

. Y su punto medio con

A

\left(1,\frac12,\frac12\right) = B\;\checkmark

, que pertenece al plano.

(También se puede comprobar con la fórmula de la distancia punto-plano: $d(A,\pi) = \frac{|1-0|}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt2}{2}$ , y el simétrico está al doble de esa distancia.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"La recta perpendicular desde $A$ corta al plano en $B$ " es otra forma de decir que $B$ es el pie de la perpendicular. Traducido: $\vec{AB} \perp \pi$ (sirve de normal) y $B \in \pi$ (sirve de punto). Con esas dos lecturas el apartado a) es de una línea.

En b) no hace falta hallar $A'$ : la distancia de un punto a su simétrico es el doble de su distancia al plano. Calcular el simétrico funciona igual y de paso sirve de comprobación, pero si andas justo de tiempo, el factor $2$ te ahorra el paso.