Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2016 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Sea

r

la recta que pasa por los puntos

A(1,1,0)

B(3,-1,1)

, y

s

la recta dada por

s \equiv \begin{cases} x + 2y = -1 \\ \phantom{x + 2}y + z = -1\end{cases}

a) [1,25 puntos] Halla la ecuación general del plano que pasa por el origen de coordenadas y es paralelo a las rectas dadas.

b) [1,25 puntos] Halla unas ecuaciones paramétricas del plano que pasa por

B

y es perpendicular a

s

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Resultado

\boxed{\;\vec{u} = \vec{AB} = (2,-2,1); \qquad \vec{v} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2} = (2,-1,1)\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \vec{n} = \vec{u}\times\vec{v} = (-1,0,2) \;\Longrightarrow\; x - 2z = 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad (x,y,z) = (3,-1,1) + \lambda\,(1,0,-2) + \mu\,(0,1,1)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Un plano paralelo a dos rectas tiene su normal perpendicular a los dos directores: $\vec{n} = \vec{u}\times\vec{v}$ . Y como pasa por el origen, su término independiente es $0$ .
b) Un plano perpendicular a una recta tiene por normal el director de esa recta. Pero se piden ecuaciones paramétricas, así que además hay que encontrar dos vectores del plano: cualquier par de vectores independientes ortogonales a $\vec{v}$ .

Desarrollo

Director de $r$ .

\vec{u} = \vec{AB} = (3-1,\; -1-1,\; 1-0) = (2,\, -2,\, 1)

Director de $s$ . Los normales son

\vec{n}_{1} = (1,2,0)

\vec{n}_{2} = (0,1,1)

\vec{v} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right|

\vec{i}: \; (2)(1) - (0)(1) = 2 \qquad \vec{j}: \; -\bigl[(1)(1) - (0)(0)\bigr] = -1 \qquad \vec{k}: \; (1)(1) - (2)(0) = 1

\vec{v} = (2,\, -1,\, 1)

a) Plano por el origen paralelo a ambas. Su normal es

\vec{n} = \vec{u}\times\vec{v} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 1\end{array}\right|

\vec{i}: \; (-2)(1) - (1)(-1) = -2 + 1 = -1

\vec{j}: \; -\Bigl[(2)(1) - (1)(2)\Bigr] = 0

\vec{k}: \; (2)(-1) - (-2)(2) = -2 + 4 = 2

\vec{n} = (-1,\, 0,\, 2)

Ecuación, pasando por el origen

(0,0,0)

-1\cdot x + 0\cdot y + 2\cdot z = 0 \;\Longrightarrow\; x - 2z = 0

Comprobaciones.

\;\vec{n}\cdot\vec{u} = -2 + 0 + 2 = 0\;\checkmark

\;\vec{n}\cdot\vec{v} = -2 + 0 + 2 = 0\;\checkmark

(Nótese que $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no son proporcionales, así que su producto vectorial no es nulo y el plano existe.)

b) Plano por $B(3,-1,1)$ perpendicular a $s$ . Su normal es el director de

s

\vec{w} = \vec{v} = (2,\, -1,\, 1)

(Su ecuación general sería $\;2(x-3) - (y+1) + (z-1) = 0$ , es decir $\;2x - y + z - 8 = 0$ .)

Para las paramétricas hacen falta dos vectores independientes contenidos en el plano, es decir, ortogonales a

\vec{w}

. Se eligen a ojo:

\vec{w}_{1} = (1,\, 0,\, -2): \quad \vec{w}\cdot\vec{w}_{1} = 2 + 0 - 2 = 0 \;\checkmark

\vec{w}_{2} = (0,\, 1,\, 1): \quad \vec{w}\cdot\vec{w}_{2} = 0 - 1 + 1 = 0 \;\checkmark

(No son proporcionales, así que generan el plano.)

Ecuaciones paramétricas, con origen en

B(3,-1,1)

\begin{cases} x = \phantom{-}3 + \lambda \\ y = -1 + \mu \\ z = \phantom{-}1 - 2\lambda + \mu\end{cases} \qquad \lambda,\mu\in\mathbb{R}

Comprobación. Sustituyendo en la ecuación general

2x - y + z - 8 = 0

2(3+\lambda) - (-1+\mu) + (1 - 2\lambda + \mu) - 8 = 6 + 2\lambda + 1 - \mu + 1 - 2\lambda + \mu - 8 = 0 \quad \checkmark

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Consejo

Paralelo a dos rectas $\Rightarrow$ normal $= \vec{u}\times\vec{v}$ ; perpendicular a una recta $\Rightarrow$ normal $=$ el director de esa recta. Son situaciones distintas y el enunciado plantea las dos seguidas.

Para dar ecuaciones paramétricas de un plano no basta con el normal: hacen falta un punto y dos direcciones del plano, es decir, dos vectores ortogonales al normal e independientes entre sí. Se pueden elegir a ojo, poniendo un cero en una componente.

Comprueba las paramétricas sustituyéndolas en la ecuación general: si se anula para todo $\lambda$ y $\mu$ , los dos vectores elegidos son correctos.