Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2012 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. [2,5 puntos] Calcula de manera razonada la distancia del eje $OX$ a la recta

r

de ecuaciones

r \equiv \begin{cases} 2x-3y = 4 \\ 2x-3y-z = 0\end{cases}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Eje } OX: \ O(0,0,0), \ \vec{i} = (1,0,0)\;}

\boxed{\;r: \ \vec{u} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = (3,2,0), \quad A(2,0,4)\;}

\boxed{\;\vec{i}\times\vec{u} = (0,0,2) \neq \vec0 \ \text{ y } \ \bigl[\vec{OA},\vec{i},\vec{u}\bigr] = 8 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \text{se cruzan}\;}

\boxed{\;d = \frac{8}{2} = 4\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El eje $OX$ es una recta como cualquier otra: pasa por el origen

O(0,0,0)

y tiene director

\vec{i} = (1,0,0)

.

Lo primero es sacar punto y director de

r

(producto vectorial de los normales) y determinar la posición relativa. Aquí se cruzan, así que la distancia es

d = \frac{\bigl\lvert\bigl[\vec{OA},\vec{i},\vec{u}\bigr]\bigr\rvert}{\lVert\vec{i}\times\vec{u}\rVert}

(Un atajo bonito: restando las dos ecuaciones de $r$ sale $z = 4$ , es decir, $r$ está en el plano horizontal $z=4$ . Como el eje $OX$ está en $z=0$ , la distancia va a ser $4$ … siempre que las rectas no sean paralelas (si lo fueran, podría ser mayor que $4$ ). Lo comprobaremos.)

Desarrollo

Datos del eje $OX$ .

O(0,\,0,\,0), \qquad \vec{i} = (1,\, 0,\, 0)

Datos de $r$ . Los normales son

\vec{n_{1}} = (2,-3,0)

\vec{n_{2}} = (2,-3,-1)

\vec{u} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -3 & 0 \\ 2 & -3 & -1\end{array}\right|

\vec{i}: (-3)(-1)-(0)(-3) = 3 \qquad \vec{j}: -\bigl[(2)(-1)-(0)(2)\bigr] = 2 \qquad \vec{k}: (2)(-3)-(-3)(2) = 0

\vec{u} = (3,\, 2,\, 0)

Un punto de $r$ . Restando las dos ecuaciones:

\;z = 4

. Y con

y=0

\;2x = 4 \Rightarrow x = 2

A(2,\,0,\,4)

(Comprobación: $4-0 = 4$ $\checkmark$ y $4-0-4 = 0$ $\checkmark$ )

Posición relativa.

\vec{i}\times\vec{u} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 0\end{array}\right| = (0,\, 0,\, 2) \neq \vec{0} \;\Longrightarrow\; \textbf{no son paralelas}

\vec{OA} = (2,\,0,\,4) \qquad \bigl[\vec{OA},\vec{i},\vec{u}\bigr] = \vec{OA}\cdot(0,0,2) = 8 \neq 0

\textbf{El eje } OX \textbf{ y } r \textbf{ se cruzan}

La distancia.

d = \frac{\lvert 8\rvert}{\lVert(0,0,2)\rVert} = \frac{8}{2} = 4

Interpretación. Coincide con el atajo anunciado:

r

vive en el plano

z=4

, el eje

OX

z=0

, y como sus direcciones son ambas horizontales pero no paralelas, la distancia mínima se mide verticalmente y vale

4

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El eje $OX$ es la recta $\{O; \vec{i} = (1,0,0)\}$ . Tratarlo como una recta más es todo el truco del enunciado; no hace falta ninguna fórmula especial.

Restando las dos ecuaciones de $r$ sale $z = 4$ : la recta está en un plano horizontal. Esa observación anticipa el resultado y sirve de comprobación al final.

Comprueba que se cruzan antes de usar la fórmula del producto mixto: si fueran paralelas valdría $0$ y habría que usar la fórmula punto-recta.