Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2015 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera el punto

P(-3,1,6)

y la recta

r

dada por

r \equiv \begin{cases} 2x-y-5 = 0 \\ \phantom{2x+{}}y-z+2 = 0\end{cases}

a) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano que pasa por

P

y es perpendicular a

r

.

b) [1,25 puntos] Calcula las coordenadas del punto simétrico de

P

respecto de la recta

r

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r: (t,\, 2t-5,\, 2t-3), \quad A(0,-5,-3), \quad \vec{u} = (1,2,2)\;}

\boxed{\;\text{a) } \vec{n} = \vec{u}: \quad (x+3)+2(y-1)+2(z-6) = 0 \;\Longrightarrow\; x+2y+2z-11 = 0\;}

\boxed{\;\text{b) Pie: } 9t-27 = 0 \Rightarrow t = 3, \quad M(3,1,3)\;}

\boxed{\;P' = 2M-P = (9,\, 1,\, 0)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados encajan: el plano de a) es exactamente la herramienta que resuelve b).

a) Plano perpendicular a una recta $\Rightarrow$ su normal es el director de la recta.
b) El simétrico respecto de una recta se obtiene igual que respecto de un plano, pero intercambiando los papeles: se busca el pie $M$ de la perpendicular desde $P$ a $r$ (que es justo el corte del plano de a) con $r$ ) y se aplica

P' = 2M-P

Desarrollo

La recta en paramétricas. De

y = 2x-5

z = y+2 = 2x-3

, tomando

x = t

r: \; (t,\; 2t-5,\; 2t-3) \qquad A(0,\,-5,\,-3), \quad \vec{u} = (1,\, 2,\, 2)

a) El plano perpendicular a $r$ por $P$ . Su normal es

\vec{u} = (1,2,2)

1(x+3)+2(y-1)+2(z-6) = 0

x+3+2y-2+2z-12 = 0 \;\Longrightarrow\; x+2y+2z-11 = 0

Comprobación.

P(-3,1,6)

\;-3+2+12-11 = 0

\;\checkmark

b) El pie de la perpendicular. Es el corte de ese plano con

r

. Sustituyendo el punto genérico:

t+2(2t-5)+2(2t-3)-11 = t+4t-10+4t-6-11 = 9t-27 = 0 \;\Longrightarrow\; t = 3

M = (3,\; 6-5,\; 6-3) = (3,\, 1,\, 3)

(Comprobación: $\;\vec{PM} = (6,0,-3)$ y $\;\vec{PM}\cdot\vec{u} = 6+0-6 = 0$ : efectivamente es perpendicular a $r$ $\checkmark$ )

El simétrico.

M

es el punto medio de

\overline{PP'}

P' = 2M-P = (6+3,\; 2-1,\; 6-6) = (9,\, 1,\, 0)

Comprobaciones.

\text{Punto medio de } P \text{ y } P': \ \left(\frac{-3+9}{2},\frac{1+1}{2},\frac{6+0}{2}\right) = (3,1,3) = M \;\checkmark

d(P,r) = \lVert\vec{PM}\rVert = \sqrt{36+0+9} = \sqrt{45} = 3\sqrt5 = d(P',r) \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Perpendicular a una recta $\Rightarrow$ el normal del plano es el director de la recta. No lo confundas con "plano que contiene a la recta", donde el normal sería perpendicular al director.

Para el simétrico respecto de una recta, el plano de a) hace todo el trabajo: su corte con $r$ es el pie de la perpendicular. Por eso el enunciado ordena los apartados así.

Comprueba el pie verificando que $\vec{PM}\cdot\vec{u} = 0$ , y el simétrico recalculando el punto medio. Son dos comprobaciones de diez segundos que blindan el resultado.