Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2025 · Julio
Enunciado
Ejercicio 5 (bloque con optatividad 2). Sean las rectasr≡x+14=y+23=z−2−1ys≡{x=1−λy=2+λz=−3−2λr \equiv \frac{x+1}{4} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-2}{-1} \qquad\text{y}\qquad s \equiv \begin{cases} x = 1 - \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = -3 - 2\lambda \end{cases}a) [1 punto] Estudia la posición relativa de las rectas rr y ss.

b) [1,5 puntos] Halla la ecuación de un plano que contiene a rr y a una recta perpendicular a las rectas rr y ss.
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Resultado
  a)Las rectas r y s se cruzan (producto mixto=−9≠0)  \boxed{\;\text{a)}\quad \text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan } \bigl(\text{producto mixto} = -9 \neq 0\bigr)\;}  b)π≡30x−23y+51z−118=0  \boxed{\;\text{b)}\quad \pi \equiv 30x - 23y + 51z - 118 = 0\;}
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Estrategia

Para la posición relativa, el atajo seguro es el producto mixto: se toma un punto de cada recta, se forma el vector que los une y se calcula [v⃗r,v⃗s,AB→][\vec{v}_r, \vec{v}_s, \overrightarrow{AB}]. Si es distinto de cero, las tres direcciones son independientes y las rectas se cruzan; si es cero, son coplanarias (se cortan o son paralelas, según sean o no proporcionales los directores).

En b) hay que leer con cuidado: el plano contiene a rr y además a una recta perpendicular a rr y a ss. La dirección de esa perpendicular común es v⃗r×v⃗s\vec{v}_r \times \vec{v}_s. Con eso el plano ya está determinado: pasa por un punto de rr y tiene dos direcciones conocidas.
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Desarrollo

Datos de las rectas.A(−1,−2,2)∈r,v⃗r=(4, 3, −1)A(-1, -2, 2) \in r, \qquad \vec{v}_{r} = (4,\ 3,\ -1)B(1,2,−3)∈s,v⃗s=(−1, 1, −2)B(1, 2, -3) \in s, \qquad \vec{v}_{s} = (-1,\ 1,\ -2)a) Los directores no son proporcionales (4−1=−4\frac{4}{-1} = -4 pero 31=3\frac{3}{1} = 3), así que las rectas no son ni paralelas ni coincidentes: o se cortan o se cruzan.

El vector que une los dos puntos esAB→=B−A=(1−(−1), 2−(−2), −3−2)=(2, 4, −5)\overrightarrow{AB} = B - A = (1 - (-1),\ 2 - (-2),\ -3 - 2) = (2,\ 4,\ -5)Calculamos el producto mixto:[v⃗r, v⃗s, AB→]=∣43−1−11−224−5∣\bigl[\vec{v}_{r},\ \vec{v}_{s},\ \overrightarrow{AB}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} 4 & 3 & -1 \\ -1 & 1 & -2 \\ 2 & 4 & -5 \end{array}\right|Desarrollando por la primera fila:=4 (1⋅(−5)−(−2)⋅4)−3 ((−1)(−5)−(−2)⋅2)+(−1) ((−1)⋅4−1⋅2)= 4\,(1\cdot(-5) - (-2)\cdot 4) - 3\,((-1)(-5) - (-2)\cdot 2) + (-1)\,((-1)\cdot 4 - 1\cdot 2)=4 (−5+8)−3 (5+4)−(−4−2)=12−27+6=−9≠0= 4\,(-5 + 8) - 3\,(5 + 4) - (-4 - 2) = 12 - 27 + 6 = -9 \neq 0Al ser el producto mixto no nulo, los tres vectores no son coplanarios: las rectas se cruzan (rango de {v⃗r,v⃗s}\{\vec{v}_r, \vec{v}_s\} igual a 22 y rango de {v⃗r,v⃗s,AB→}\{\vec{v}_r, \vec{v}_s, \overrightarrow{AB}\} igual a 33).

b) Una recta perpendicular a rr y a ss a la vez tiene por dirección la perpendicular común:u⃗=v⃗r×v⃗s=∣i⃗j⃗k⃗43−1−11−2∣\vec{u} = \vec{v}_{r} \times \vec{v}_{s} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 3 & -1 \\ -1 & 1 & -2 \end{array}\right|=(3⋅(−2)−(−1)⋅1)i⃗−(4⋅(−2)−(−1)(−1))j⃗+(4⋅1−3⋅(−1))k⃗=(−5, 9, 7)= \bigl(3\cdot(-2) - (-1)\cdot 1\bigr)\vec{i} - \bigl(4\cdot(-2) - (-1)(-1)\bigr)\vec{j} + \bigl(4\cdot 1 - 3\cdot(-1)\bigr)\vec{k} = (-5,\ 9,\ 7)El plano buscado pasa por A(−1,−2,2)A(-1,-2,2) (punto de rr) y tiene como direcciones v⃗r\vec{v}_{r} y u⃗\vec{u}. Su vector normal esn⃗=v⃗r×u⃗=∣i⃗j⃗k⃗43−1−597∣=(21+9) i⃗−(28−5) j⃗+(36+15) k⃗=(30, −23, 51)\vec{n} = \vec{v}_{r} \times \vec{u} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 3 & -1 \\ -5 & 9 & 7 \end{array}\right| = (21 + 9)\,\vec{i} - (28 - 5)\,\vec{j} + (36 + 15)\,\vec{k} = (30,\ -23,\ 51)Ecuación del plano:30(x+1)−23(y+2)+51(z−2)=030(x + 1) - 23(y + 2) + 51(z - 2) = 030x+30−23y−46+51z−102=0  ⟹  π≡30x−23y+51z−118=030x + 30 - 23y - 46 + 51z - 102 = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv 30x - 23y + 51z - 118 = 0Comprobaciones. El punto A(−1,−2,2)A(-1,-2,2): −30+46+102−118=0-30 + 46 + 102 - 118 = 0 ✓. Otro punto de rr, A+v⃗r=(3,1,1)A + \vec{v}_r = (3, 1, 1): 90−23+51−118=090 - 23 + 51 - 118 = 0 ✓. Y la dirección u⃗\vec{u} es paralela al plano: n⃗⋅u⃗=−150−207+357=0\vec{n}\cdot\vec{u} = -150 - 207 + 357 = 0 ✓.
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Consejo

En a), un producto mixto distinto de cero basta por sí solo para afirmar que las rectas se cruzan (con directores proporcionales saldría cero). Donde hay que seguir mirando es cuando sale cero: entonces son coplanarias y la proporcionalidad de los directores decide entre secantes (no proporcionales) y paralelas o coincidentes (proporcionales).

En b) hay dos productos vectoriales encadenados y los números se ponen feos: haz la comprobación final (n⃗⋅u⃗=0\vec{n}\cdot\vec{u} = 0 y los puntos de rr en el plano). Con un signo mal en la componente jj todo lo demás se cae, y esa comprobación lo detecta al instante.
Paso 1 de 3
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