Rectas y planos

Datos. De la recta, escrita como $\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z-2}{1}$:$$A(1,\ 0,\ 2) \in r, \qquad \vec{v}_{r} = (2,\ 3,\ 1)$$Del plano, $\vec{n}_{\pi} = (1,\ -1,\ 0)$. Los dos vectores no son proporcionales, así que el producto vectorial no será nulo y ambos apartados tienen solución.

El producto vectorial clave.$$\vec{w} = \vec{v}_{r}\times\vec{n}_{\pi} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right| = \bigl(0+1\bigr)\vec{i} - \bigl(0-1\bigr)\vec{j} + \bigl(-2-3\bigr)\vec{k} = (1,\ 1,\ -5)$$a) El plano. Contiene a $r$ (punto $A$, dirección $\vec{v}_{r}$) y la dirección $\vec{n}_{\pi}$, luego su vector normal es $\vec{w} = (1,1,-5)$. Imponiendo que pase por $A(1,0,2)$:$$1\,(x-1) + 1\,(y-0) - 5\,(z-2) = 0 \;\Longrightarrow\; x + y - 5z + 9 = 0$$$$\sigma \equiv x + y - 5z + 9 = 0$$Comprobaciones. $A(1,0,2)$: $1+0-10+9 = 0$ ✓. Otro punto de $r$, $A+\vec{v}_{r} = (3,3,3)$: $3+3-15+9 = 0$ ✓ (contiene a $r$). Perpendicularidad con $\pi$: $\vec{w}\cdot\vec{n}_{\pi} = 1 - 1 + 0 = 0$ ✓.

b) La recta.

¿Es posible? El origen $O(0,0,0)$ cumple $0-0 = 0$, luego $O \in \pi$ y la recta puede existir.

Director. Debe ser perpendicular a $\vec{n}_{\pi}$ (para quedar dentro de $\pi$) y a $\vec{v}_{r}$ (para ser perpendicular a $r$). Ese vector es precisamente $\vec{w}$ (salvo el signo, que da lo mismo):$$\vec{u} = (1,\ 1,\ -5)$$Ecuación, por el origen:$$\ell \equiv \frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-5} \qquad\text{o bien}\qquad \ell \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = \lambda \\ z = -5\lambda\end{cases}$$Comprobaciones. $\vec{u}\cdot\vec{n}_{\pi} = 1-1+0 = 0$ ✓ y $O\in\pi$, luego $\ell \subset \pi$. Y $\vec{u}\cdot\vec{v}_{r} = 2+3-5 = 0$ ✓, perpendicular a $r$.

Observación: la recta $\ell$ del apartado b) tiene como director el mismo vector que es normal al plano del apartado a). No es casualidad: ambos vectores están caracterizados por ser perpendiculares a $\vec{v}_{r}$ y a $\vec{n}_{\pi}$ a la vez, y esa condición determina una única dirección.