Ejercicio 7 (bloque B). Considera el plano \pi, determinado por los puntos A(-1,0,0), B(0,1,1) y C(2,1,0), y la recta r \equiv \begin{cases} x - 2z - 3 = 0 \\ y - \phantom{2}z - 2 = 0 \end{cases} Halla los puntos de r cuya distancia a \pi es \sqrt{14} unidades.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2023 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 7 (bloque B). Considera el plano

\pi

, determinado por los puntos

A(-1,0,0)

B(0,1,1)

C(2,1,0)

, y la recta

r \equiv \begin{cases} x - 2z - 3 = 0 \\ y - \phantom{2}z - 2 = 0 \end{cases}

Halla los puntos de

r

cuya distancia a

\pi

\sqrt{14}

unidades.

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Resultado

\boxed{\;\pi \equiv x - 3y + 2z + 1 = 0, \qquad r \equiv (2t+3,\; t+2,\; t)\;}

\boxed{\;P_{1}(35, 18, 16) \qquad \text{y} \qquad P_{2}(-21, -10, -12)\;}

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Estrategia

Tres pasos encadenados:

Ecuación general del plano a partir de los tres puntos (producto vectorial).
Parametrización de la recta, que viene dada en forma implícita. Aquí sale sola: las dos ecuaciones ya despejan $x$ e $y$ en función de $z$ .
Imponer la condición de distancia con la fórmula punto-plano. Aparecerá un valor absoluto y, por tanto, dos puntos: uno a cada lado del plano.

El detalle bonito del problema es que

\lVert\vec{n}\rVert = \sqrt{14}

, la misma cantidad que aparece en el enunciado: al plantear la ecuación, las raíces se simplifican y queda todo entero.

Desarrollo

Ecuación del plano.

\vec{AB} = (1, 1, 1), \qquad \vec{AC} = (3, 1, 0)

\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{array}\right| = (0 - 1)\vec{i} - (0 - 3)\vec{j} + (1 - 3)\vec{k} = (-1, 3, -2)

Cambiando de signo,

\vec{n} = (1, -3, 2)

. Imponiendo que pase por

A(-1,0,0)

1(x + 1) - 3y + 2z = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv x - 3y + 2z + 1 = 0

(Comprobación: $B \to 0 - 3 + 2 + 1 = 0$ y $C \to 2 - 3 + 0 + 1 = 0$ . Correcto.)

\bigl\lVert\vec{n}\bigr\rVert = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}

Parametrización de la recta. De las dos ecuaciones,

x = 2z + 3

y = z + 2

. Tomando

z = t

r \equiv P(t) = \bigl(2t + 3,\; t + 2,\; t\bigr), \qquad t \in \mathbb{R}

(Su vector director es $(2,1,1)$ . Nótese que $\vec{d}\cdot\vec{n} = 2 - 3 + 2 = 1 \neq 0$ : la recta corta al plano, así que la distancia varía con $t$ y el problema tiene sentido.)

Condición de distancia.

d\bigl(P(t), \pi\bigr) = \frac{\bigl|(2t+3) - 3(t+2) + 2t + 1\bigr|}{\sqrt{14}} = \frac{\bigl|2t + 3 - 3t - 6 + 2t + 1\bigr|}{\sqrt{14}} = \frac{|t - 2|}{\sqrt{14}}

Igualando a

\sqrt{14}

\frac{|t - 2|}{\sqrt{14}} = \sqrt{14} \;\Longrightarrow\; |t - 2| = 14

t - 2 = 14 \;\Longrightarrow\; t = 16 \qquad\qquad t - 2 = -14 \;\Longrightarrow\; t = -12

Los dos puntos.

t = 16: \quad P_{1} = \bigl(2\cdot 16 + 3,\; 16 + 2,\; 16\bigr) = (35,\; 18,\; 16)

t = -12: \quad P_{2} = \bigl(2\cdot(-12) + 3,\; -12 + 2,\; -12\bigr) = (-21,\; -10,\; -12)

Comprobación de

P_{1}

\;35 - 54 + 32 + 1 = 14

, y

\dfrac{14}{\sqrt{14}} = \sqrt{14}

. Correcto.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El valor absoluto de la fórmula de la distancia esconde dos ecuaciones. Si escribes solo $t - 2 = 14$ das un punto y te dejas el otro, que está al otro lado del plano. Siempre que aparezca $|\,\cdot\,| = k$ con $k > 0$ , hay dos casos.

Y no simplifiques el $\sqrt{14}$ antes de tiempo: fíjate en que $\lVert\vec{n}\rVert$ vale justo $\sqrt{14}$ , así que al igualar queda $|t-2| = 14$ (no $\sqrt{14}$ ). Ese paso, hecho con prisa, es donde se pierden las dos soluciones enteras y aparecen números con raíces que no deberían estar ahí.