Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2015 · Reserva 6 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Sea

r

la recta de ecuación

\dfrac{x+2}{3} = \dfrac{y+1}{4} = z

.

a) [1,5 puntos] Halla el punto de

r

que equidista del origen de coordenadas y del punto

P(4,-2,2)

.

b) [1 punto] Determina el punto de la recta

r

más próximo al origen de coordenadas.

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Resultado

\boxed{\;Q(t) = (-2+3t,\, -1+4t,\, t)\;}

\boxed{\;\text{a) } 26t^{2}-20t+5 = 26t^{2}-32t+41 \;\Longrightarrow\; t = 3: \quad Q(7,\, 11,\, 3)\;}

\boxed{\;\text{b) } \vec{OQ}\cdot\vec{u} = 26t-10 = 0 \;\Longrightarrow\; t = \tfrac{5}{13}\;}

\boxed{\;Q' = \left(-\tfrac{11}{13},\, \tfrac{7}{13},\, \tfrac{5}{13}\right), \qquad d(O,r) = \tfrac{\sqrt{195}}{13}\;}

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Estrategia

Los dos apartados parten del mismo punto genérico

Q(t)

r

, pero imponen condiciones distintas:

a) $\;d(Q,O) = d(Q,P)$ . Conviene trabajar con los cuadrados de las distancias: al igualar, los términos en $t^{2}$ se cancelan y queda una ecuación de primer grado.
b) El punto más próximo al origen es el pie de la perpendicular: se impone $\;\vec{OQ}\cdot\vec{u} = 0$ .

(Son condiciones geométricamente muy diferentes: en a) $Q$ está en el plano mediador de $\overline{OP}$ ; en b), en el plano perpendicular a $r$ por el origen.)

Desarrollo

Punto genérico de $r$ . De la ecuación continua,

A(-2,-1,0)

\vec{u} = (3,4,1)

Q(t) = \bigl(-2+3t,\; -1+4t,\; t\bigr)

a) Equidistancia del origen y de $P(4,-2,2)$ .

\lVert\vec{OQ}\rVert^{2} = (3t-2)^{2}+(4t-1)^{2}+t^{2} = 9t^{2}-12t+4+16t^{2}-8t+1+t^{2}

= 26t^{2}-20t+5

\lVert\vec{PQ}\rVert^{2} = (3t-6)^{2}+(4t+1)^{2}+(t-2)^{2} = 9t^{2}-36t+36+16t^{2}+8t+1+t^{2}-4t+4

= 26t^{2}-32t+41

Igualando (los términos

26t^{2}

se cancelan):

-20t+5 = -32t+41 \;\Longrightarrow\; 12t = 36 \;\Longrightarrow\; t = 3

Q = (-2+9,\; -1+12,\; 3) = (7,\, 11,\, 3)

Comprobación.

\lVert\vec{OQ}\rVert^{2} = 49+121+9 = 179 \qquad \lVert\vec{PQ}\rVert^{2} = 9+169+1 = 179 \quad \checkmark

b) El punto más próximo al origen. Es el pie de la perpendicular desde

O

\vec{OQ}\cdot\vec{u} = 3(3t-2)+4(4t-1)+1\cdot t = 9t-6+16t-4+t = 26t-10 = 0

t = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}

Q' = \left(-2+\frac{15}{13},\; -1+\frac{20}{13},\; \frac{5}{13}\right) = \left(-\frac{11}{13},\; \frac{7}{13},\; \frac{5}{13}\right)

Comprobación.

\vec{OQ'}\cdot\vec{u} = \frac{-33+28+5}{13} = 0 \quad \checkmark

d(O,r) = \lVert\vec{OQ'}\rVert = \frac{\sqrt{121+49+25}}{13} = \frac{\sqrt{195}}{13} \approx 1{,}07

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a), iguala los cuadrados de las distancias: así evitas las raíces y los términos cuadráticos se cancelan solos, dejando una ecuación de primer grado. Es el atajo estándar de los problemas de equidistancia.

Los dos apartados no piden lo mismo: "equidista de dos puntos" y "más próximo al origen" son condiciones distintas y dan puntos distintos. Léelas con cuidado antes de calcular.

Para b), la condición es $\vec{OQ}\perp\vec{u}$ , es decir, producto escalar nulo con el director de la recta. Comprueba siempre el resultado sustituyendo: es inmediato y detecta cualquier error aritmético con las fracciones.