Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2020 · Septiembre

Enunciado

Ejercicio 4. Considera el punto

P(1, 0, -1)

y la recta

r \equiv \begin{cases} x - y + 2z = 5 \\ x \phantom{{}-{}y} - \phantom{2}z = 1 \end{cases}

a) [1,5 puntos] Determina el punto simétrico de

P

respecto de la recta

r

.

b) [1 punto] Calcula el punto de la recta

r

que dista

\sqrt{6}

unidades de

P

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{d} = (1,3,1), \quad R(1,-4,0), \quad \text{pie } M(2,-1,1)\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad P'(3,\, -2,\, 3)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad 11t^{2}-22t+11 = 0 \Longrightarrow t = 1 \text{ (doble)}; \quad \text{el punto es } (2,-1,1)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El simétrico respecto de una recta (no de un plano) se construye igual: hallar el pie de la perpendicular

M

y usar que es el punto medio de

P

P'

. Y

M

se obtiene proyectando

\vec{RP}

sobre el vector director:

\vec{RM} = \frac{\vec{RP}\cdot\vec{d}}{\lVert\vec{d}\rVert^{2}}\,\vec{d}

En b) hay una sorpresa que conviene detectar:

\sqrt{6}

resulta ser exactamente la distancia mínima de

P

a la recta, así que la ecuación tiene una raíz doble y el punto es único: el propio pie de la perpendicular.

Desarrollo

Vector director de $r$ . Producto vectorial de los normales

(1,-1,2)

(1,0,-1)

\vec{d} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right|

\vec{i}: \; (-1)(-1) - (2)(0) = 1 \qquad \vec{j}: \; -\bigl[(1)(-1) - (2)(1)\bigr] = 3 \qquad \vec{k}: \; (1)(0) - (-1)(1) = 1

\vec{d} = (1,\, 3,\, 1), \qquad \lVert\vec{d}\rVert^{2} = 11

Un punto de $r$ . Haciendo

z = 0

: de la segunda ecuación

x = 1

, y de la primera

1 - y = 5 \Rightarrow y = -4

R(1,\, -4,\, 0)

a) Pie de la perpendicular.

\vec{RP} = P - R = (0,\, 4,\, -1)

\vec{RP}\cdot\vec{d} = 0 + 12 - 1 = 11

\vec{RM} = \frac{11}{11}\,(1,3,1) = (1,\, 3,\, 1) \;\Longrightarrow\; M = R + (1,3,1) = (2,\, -1,\, 1)

Punto simétrico. Como

M

es el punto medio de

P

P'

P' = 2M - P = (4,\, -2,\, 2) - (1,\, 0,\, -1) = (3,\, -2,\, 3)

Comprobación: el punto medio de

P(1,0,-1)

P'(3,-2,3)

(2,-1,1) = M\;\checkmark

, y

\vec{PP'} = (2,-2,4)

cumple

\vec{PP'}\cdot\vec{d} = 2 - 6 + 4 = 0

, es decir, es perpendicular a la recta

\checkmark

.

b) Punto a distancia $\sqrt{6}$ . El punto genérico de

r

P(t) = R + t\,\vec{d} = (1+t,\; -4+3t,\; t)

\overrightarrow{P\,P(t)} = \bigl(t,\; -4+3t,\; t+1\bigr)

\bigl\lVert\cdot\bigr\rVert^{2} = t^{2} + (3t-4)^{2} + (t+1)^{2} = t^{2} + 9t^{2} - 24t + 16 + t^{2} + 2t + 1 = 11t^{2} - 22t + 17

Imponiendo que valga

6

11t^{2} - 22t + 17 = 6 \;\Longrightarrow\; 11t^{2} - 22t + 11 = 0 \;\Longrightarrow\; t^{2} - 2t + 1 = 0

(t - 1)^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; t = 1 \ \text{(raíz doble)}

P(1) = (2,\, -1,\, 1) = M

El punto es único, y coincide con el pie de la perpendicular del apartado a). Tiene sentido:

\sqrt{6}

es precisamente la distancia mínima de

P

a la recta, y ese mínimo se alcanza en un solo punto.

(En efecto, $\lVert\vec{PM}\rVert = \lVert(1,-1,2)\rVert = \sqrt{6}$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El simétrico respecto de una recta no se calcula con la fórmula del simétrico respecto de un plano. Aquí hay que proyectar $\vec{RP}$ sobre el director para hallar el pie, y solo entonces duplicar. Confundir las dos situaciones es el error conceptual de este ejercicio.

Que en b) salga una raíz doble no es un fallo: significa que $\sqrt{6}$ es exactamente la distancia mínima y que hay un único punto. Si la distancia pedida fuese mayor saldrían dos puntos simétricos respecto del pie, y si fuese menor no habría ninguno.