Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2019 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Sea

r

la recta que pasa por el punto

P(2,-2,-1)

con vector director

\vec{v} = (k,\, 3+k,\, -2k)

y sea

\pi

el plano de ecuación

-x + 2y + 2z - 1 = 0

.

a) [0,5 puntos] Calcula el valor de

k

para que

r

sea paralela a

\pi

.

b) [0,5 puntos] Calcula el valor de

k

para que

r

sea perpendicular a

\pi

.

c) [1,5 puntos] Para

k = -1

, calcula los puntos de

r

que distan

3

unidades de

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{n} = (-1,2,2), \qquad \lVert\vec{n}\rVert = 3\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \vec{n}\cdot\vec{v} = 6 - 3k = 0 \;\Longrightarrow\; k = 2\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \vec{v} = \lambda\vec{n} \;\Longrightarrow\; k = -1 \; (\lambda = 1)\;}

\boxed{\;\text{c)}\quad d = 3|t-1| = 3 \Rightarrow t = 0,\, 2: \quad (2,-2,-1) \text{ y } (0,2,3)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo gira alrededor del normal

\vec{n} = (-1, 2, 2)

, que además tiene módulo

3

(muy cómodo para el apartado c):

a) Paralela $\Longrightarrow$ $\vec{n}\cdot\vec{v} = 0$ : ecuación lineal en $k$ .
b) Perpendicular $\Longrightarrow$ $\vec{v}$ es proporcional a $\vec{n}$ : se plantea $\vec{v} = \lambda\vec{n}$ y se resuelve.
c) Se parametriza la recta, se escribe la distancia al plano en función de $t$ y se resuelve la ecuación con valor absoluto, que da dos puntos.

Desarrollo

Datos.

\vec{n} = (-1,\, 2,\, 2), \qquad \lVert\vec{n}\rVert = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3

a) Paralelismo.

\vec{n}\cdot\vec{v} = -k + 2\,(3+k) + 2\,(-2k) = -k + 6 + 2k - 4k = 6 - 3k

6 - 3k = 0 \;\Longrightarrow\; k = 2

(Con $k=2$ , $\vec{v} = (2,5,-4)$ , y $P$ no está en el plano: $-2 - 4 - 2 - 1 = -9 \neq 0$ . Es paralelismo estricto.)

b) Perpendicularidad. Debe existir

\lambda

con

\vec{v} = \lambda\,\vec{n}

(k,\; 3+k,\; -2k) = \lambda\,(-1,\, 2,\, 2)

De la primera componente,

k = -\lambda

. Llevándolo a la segunda:

3 + k = 2\lambda = -2k \;\Longrightarrow\; 3 = -3k \;\Longrightarrow\; k = -1

Comprobación en la tercera: con

k=-1

\lambda = 1

, y

-2k = 2 = 2\lambda\;\checkmark

k = -1 \qquad \bigl(\vec{v} = (-1,2,2) = \vec{n}\bigr)

c) Caso $k = -1$ . La recta es

r \equiv (x,y,z) = (2,-2,-1) + t\,(-1,2,2) = \bigl(2 - t,\; -2 + 2t,\; -1 + 2t\bigr)

Distancia de un punto genérico al plano.

d(Q,\pi) = \frac{\bigl|-(2-t) + 2(-2+2t) + 2(-1+2t) - 1\bigr|}{3}

= \frac{\bigl|-2 + t - 4 + 4t - 2 + 4t - 1\bigr|}{3} = \frac{|9t - 9|}{3} = 3\,|t - 1|

Ecuación.

3\,|t-1| = 3 \;\Longrightarrow\; |t - 1| = 1 \;\Longrightarrow\; t = 0 \quad \text{o} \quad t = 2

t = 0: \quad Q_{1} = (2,\, -2,\, -1) = P

t = 2: \quad Q_{2} = \bigl(2-2,\; -2+4,\; -1+4\bigr) = (0,\, 2,\, 3)

Comprobación. En

P

\;|-2-4-2-1|/3 = 9/3 = 3\;\checkmark

. En

Q_{2}

\;|0+4+6-1|/3 = 9/3 = 3\;\checkmark

(Tiene sentido geométrico: la recta es perpendicular al plano, así que $P$ y $Q_{2}$ están a un lado y a otro, simétricos respecto del punto de corte $(1,0,1)$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No confundas las dos condiciones: paralela al plano $\Rightarrow$ director $\perp$ normal (producto escalar cero); perpendicular al plano $\Rightarrow$ director paralelo al normal (proporcionalidad). Son opuestas, y el enunciado te pide las dos seguidas justamente para comprobar que las distingues.

En b), la proporcionalidad usa un solo $\lambda$ para las tres componentes, y hay que comprobar la tercera: si no cuadrase, no existiría ningún $k$ válido.

En c), el valor absoluto da dos soluciones y una de ellas es el propio $P$ . No es un error: significa que $P$ ya estaba a distancia $3$ del plano. La otra es su simétrica respecto del punto de corte de la recta con $\pi$ .