Áreas, volúmenes y distancias

Lectura de las rectas.

Para $r$: las normales son $(0,1,0)$ y $(2,0,-1)$, luego$$\vec{v}_{r} = (0,1,0)\times(2,0,-1) = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -1\end{array}\right| = (-1,\ 0,\ -2) \;\parallel\; (1,\ 0,\ 2)$$Un punto: $y = 0$ y $z = 2x$; con $x=0$ sale el origen, $R(0,0,0) \in r$.

Para $s$: las normales son $(1,1,0)$ y $(0,0,1)$, luego$$\vec{v}_{s} = (1,1,0)\times(0,0,1) = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right| = (1,\ -1,\ 0)$$Un punto: $z = 0$ y $x + y = -7$; con $x=0$ sale $S(0,-7,0) \in s$.

a) Posición relativa. Los directores $(1,0,2)$ y $(1,-1,0)$ no son proporcionales (la segunda componente es $0$ en uno y $-1$ en el otro), luego las rectas no son paralelas ni coincidentes. Con $\overrightarrow{RS} = (0,-7,0)$, el producto mixto vale$$\bigl[\vec{v}_{r},\ \vec{v}_{s},\ \overrightarrow{RS}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & -7 & 0 \end{array}\right| = 1\cdot(0 - 0) - 0\cdot(0-0) + 2\cdot(-7 - 0) = -14 \neq 0$$Al no ser nulo, los tres vectores no son coplanarios: las rectas se cruzan (no son paralelas y no se cortan).

b) El plano equidistante. Al ser paralelo a $r$ y a $s$, su vector normal es perpendicular a los dos directores:$$\vec{n} = \vec{v}_{r}\times\vec{v}_{s} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right| = (0+2)\,\vec{i} - (0-2)\,\vec{j} + (-1-0)\,\vec{k} = (2,\ 2,\ -1)$$con $\lVert\vec{n}\rVert = \sqrt{4+4+1} = 3$. La familia de planos paralelos a ambas rectas es$$\pi \equiv 2x + 2y - z + D = 0$$Como $\pi$ es paralelo a $r$, la distancia de $\pi$ a $r$ es la de cualquier punto de $r$, por ejemplo $R(0,0,0)$; e igual con $s$ y el punto $S(0,-7,0)$:$$d(\pi, r) = \frac{|2\cdot 0 + 2\cdot 0 - 0 + D|}{3} = \frac{|D|}{3}$$$$d(\pi, s) = \frac{|2\cdot 0 + 2\cdot(-7) - 0 + D|}{3} = \frac{|D - 14|}{3}$$Imponemos la equidistancia:$$|D| = |D - 14|$$La opción $D = D - 14$ es imposible, luego $D = -(D-14)$, es decir$$2D = 14 \;\Longrightarrow\; D = 7$$$$\pi \equiv 2x + 2y - z + 7 = 0$$Comprobaciones. Paralelismo: $\vec{n}\cdot\vec{v}_{r} = 2 + 0 - 2 = 0$ ✓ y $\vec{n}\cdot\vec{v}_{s} = 2 - 2 - 0 = 0$ ✓. Ninguna recta está contenida en $\pi$, porque $R(0,0,0)$ da $7 \neq 0$ y $S(0,-7,0)$ da $-14+7 = -7 \neq 0$ ✓. Y las distancias:$$d(\pi,r) = \frac{7}{3}, \qquad d(\pi,s) = \frac{|7-14|}{3} = \frac{7}{3}$$Interpretación: $\pi$ es el "plano medio" entre las dos rectas que se cruzan, a $\frac{7}{3}$ de cada una. La distancia mínima entre $r$ y $s$ es, por tanto, $\frac{14}{3}$.