Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2009 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera el plano

\pi

de ecuación

\;3x-2y-2z = 7\;

y la recta

r

definida por

\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{2}

a) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano paralelo a $\pi$ que contiene a $r$ .

b) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano ortogonal a $\pi$ que contiene a $r$ .

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec u = (2,1,2), \ A(2,-1,2)\in r; \quad \vec{n_{\pi}} = (3,-2,-2), \ \vec u\cdot\vec{n_{\pi}} = 0\;}

\boxed{\;\text{a) Mismo normal por } A: \ 3(x-2)-2(y+1)-2(z-2) = 0\;}

\boxed{\;\pi_{1}\colon 3x-2y-2z-4 = 0\;}

\boxed{\;\text{b) } \vec n' = \vec u\times\vec{n_{\pi}} = (2,10,-7) \Rightarrow \pi_{2}\colon 2x+10y-7z+20 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos planos que contienen a

r

, pero con condiciones opuestas respecto de

\pi

a) Paralelo a $\pi$ $\Rightarrow$ mismo normal $\vec{n_{\pi}}$ . Solo hay que imponer que pase por un punto de $r$ .

(Para que esto sea posible, $r$ tiene que ser paralela a $\pi$ : se comprueba con $\vec u\cdot\vec{n_{\pi}} = 0$ .)

b) Ortogonal a $\pi$ $\Rightarrow$ su normal $\vec n'$ es perpendicular a $\vec{n_{\pi}}$ . Y como contiene a $r$ , también $\vec n'\perp\vec u$ . Por tanto

\vec n' = \vec u\times\vec{n_{\pi}}

Desarrollo

Datos.

\vec u = (2,\, 1,\, 2) \qquad A(2,\,-1,\,2)\in r \qquad \vec{n_{\pi}} = (3,\, -2,\, -2)

Comprobación previa: ¿es

r

paralela a

\pi

\vec u\cdot\vec{n_{\pi}} = 6-2-4 = 0 \;\checkmark

A

no está en

\pi

\;3(2)-2(-1)-2(2) = 6+2-4 = 4 \neq 7

\textbf{r es paralela a } \pi \textbf{ y no está contenida en él}

a) El plano paralelo a $\pi$ que contiene a $r$ . Tiene el mismo normal:

3\,(x-2)-2\,(y+1)-2\,(z-2) = 0

3x-6-2y-2-2z+4 = 0 \;\Longrightarrow\; 3x-2y-2z-4 = 0

Comprobaciones.

A(2,-1,2): \ 6+2-4-4 = 0 \;\checkmark

Otro punto de $r$ (con parámetro

1

(4,0,4)

\;12-0-8-4 = 0

\;\checkmark

(Y es paralelo a $\pi$ pero distinto: $-4 \neq -7$ .)

b) El plano ortogonal a $\pi$ que contiene a $r$ .

\vec n' = \vec u\times\vec{n_{\pi}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & -2 & -2\end{array}\right|

\vec i: (1)(-2)-(2)(-2) = 2 \qquad \vec j: -\bigl[(2)(-2)-(2)(3)\bigr] = 10 \qquad \vec k: (2)(-2)-(1)(3) = -7

\vec n' = (2,\, 10,\, -7)

Con $A(2,-1,2)$ :

2\,(x-2)+10\,(y+1)-7\,(z-2) = 0

2x-4+10y+10-7z+14 = 0 \;\Longrightarrow\; 2x+10y-7z+20 = 0

Comprobaciones.

\vec n'\cdot\vec{n_{\pi}} = 6-20+14 = 0 \;\checkmark \quad (\text{planos ortogonales})

\vec n'\cdot\vec u = 4+10-14 = 0 \;\checkmark \quad (\text{contiene la dirección de } r)

A(2,-1,2): \ 4-10-14+20 = 0 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Paralelo a $\pi$ $\Rightarrow$ el mismo normal (solo cambia el término independiente). Ortogonal a $\pi$ $\Rightarrow$ normal perpendicular al de $\pi$ . Son condiciones opuestas y es donde más se confunde.

Antes de a), comprueba que $\vec u\cdot\vec{n_{\pi}} = 0$ : si $r$ no fuese paralela a $\pi$ , ningún plano paralelo a $\pi$ podría contenerla y el apartado no tendría solución.

El plano de b) existe siempre (basta $\vec n' = \vec u\times\vec{n_{\pi}}\neq\vec0$ ), a diferencia del de a). Merece la pena señalar esa asimetría en el examen.