Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2014 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera el punto

A(8,-1,3)

y la recta

r

dada por

\frac{x+1}{2} = y-2 = \frac{z-1}{3}

a) [1,25 puntos] Calcula la ecuación del plano que pasa por

A

y es perpendicular a

r

.

b) [1,25 puntos] Halla el punto simétrico de

A

respecto de

r

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r: P_{0}(-1,2,1), \ \vec{u} = (2,1,3)\;}

\boxed{\;\text{a) } 2(x-8)+(y+1)+3(z-3) = 0 \;\Longrightarrow\; 2x+y+3z-24 = 0\;}

\boxed{\;\text{b) } Q(t) \text{ en el plano}: \ 14t-21 = 0 \Rightarrow t = \tfrac32, \quad M\left(2,\tfrac72,\tfrac{11}{2}\right)\;}

\boxed{\;A' = 2M-A = (-4,\, 8,\, 8)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados encajan: el plano de a) es la herramienta que resuelve b).

a) Plano perpendicular a una recta $\Rightarrow$ su normal es el director $\vec{u}$ de la recta.
b) El simétrico respecto de una recta se obtiene con el pie $M$ de la perpendicular desde $A$ : es el corte del plano de a) con $r$ . Después,

A' = 2M-A

porque

M

es el punto medio de

\overline{AA'}

Desarrollo

Datos de la recta. De la ecuación continua:

P_{0}(-1,\,2,\,1), \qquad \vec{u} = (2,\, 1,\, 3)

a) El plano perpendicular a $r$ por $A(8,-1,3)$ . Su normal es

\vec{u} = (2,1,3)

2\,(x-8)+1\,(y+1)+3\,(z-3) = 0

2x-16+y+1+3z-9 = 0 \;\Longrightarrow\; 2x+y+3z-24 = 0

Comprobación.

A(8,-1,3)

\;16-1+9-24 = 0

\;\checkmark

b) El pie de la perpendicular. Punto genérico de

r

Q(t) = (-1+2t,\; 2+t,\; 1+3t)

Sustituyendo en el plano:

2(-1+2t)+(2+t)+3(1+3t)-24 = -2+4t+2+t+3+9t-24 = 14t-21 = 0

t = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}

M = \left(-1+3,\; 2+\frac32,\; 1+\frac92\right) = \left(2,\; \frac72,\; \frac{11}{2}\right)

(Comprobación: $\;\vec{AM} = \left(-6,\frac92,\frac52\right)$ y $\;\vec{AM}\cdot\vec{u} = -12+\frac92+\frac{15}{2} = -12+12 = 0$ $\checkmark$ )

El simétrico.

A' = 2M-A = \bigl(4-8,\; 7+1,\; 11-3\bigr) = (-4,\, 8,\, 8)

Comprobaciones.

\text{Punto medio de } A \text{ y } A': \ \left(\frac{8-4}{2},\; \frac{-1+8}{2},\; \frac{3+8}{2}\right) = \left(2,\frac72,\frac{11}{2}\right) = M \;\checkmark

d(A,r) = \lVert\vec{AM}\rVert = \sqrt{36+\frac{81}{4}+\frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{144+81+25}{4}} = \frac{\sqrt{250}}{2} = \frac{5\sqrt{10}}{2} \approx 7{,}91

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Perpendicular a la recta" $\Rightarrow$ el normal del plano es $\vec{u}$ . Es lo que hace que el corte con $r$ sea exactamente el pie de la perpendicular desde $A$ .

Para el simétrico, usa $A' = 2M-A$ . Es más rápido y seguro que plantear " $M$ es el punto medio" componente a componente, y es la misma fórmula que para el simétrico respecto de un plano.

Comprueba el pie con $\vec{AM}\cdot\vec{u} = 0$ y el simétrico recalculando el punto medio. Con fracciones como $\frac72$ y $\frac{11}{2}$ conviene verificar cada paso.