Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2009 · Reserva 5 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Sea la recta

r

definida por

r \equiv \begin{cases} 3x+2y = 0 \\ 3x+z = 0\end{cases}

a) [1 punto] Determina la ecuación del plano perpendicular a $r$ que pasa por el punto

P(1,1,1)

.

b) [1,5 puntos] Halla los puntos de $r$ cuya distancia al origen es de

4

unidades.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec u = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = (2,-3,-6), \quad \bigl|\vec u\bigr| = 7\;}

\boxed{\;\text{El origen está en } r \;\Longrightarrow\; r\colon (x,y,z) = t\,(2,-3,-6)\;}

\boxed{\;\text{a) } 2(x-1)-3(y-1)-6(z-1) = 0 \;\Longrightarrow\; 2x-3y-6z+7 = 0\;}

\boxed{\;\text{b) } 7|t| = 4 \Rightarrow t = \pm\tfrac47: \ \left(\pm\tfrac87,\; \mp\tfrac{12}{7},\; \mp\tfrac{24}{7}\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Detalle que simplifica todo el problema: los términos independientes de las dos ecuaciones son $0$ , así que el origen pertenece a $r$ .

Eso convierte b) en algo casi inmediato: los puntos de

r

son

t\,\vec u

, y su distancia al origen es

|t|\,\bigl|\vec u\bigr|

.

Para a), plano perpendicular a

r

\Rightarrow

su normal es el director

\vec u

Desarrollo

El director de $r$ . Con

\vec{n_{1}} = (3,2,0)

\vec{n_{2}} = (3,0,1)

\vec u = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 3 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1\end{array}\right|

\vec i: (2)(1)-(0)(0) = 2 \qquad \vec j: -\bigl[(3)(1)-(0)(3)\bigr] = -3 \qquad \vec k: (3)(0)-(2)(3) = -6

\vec u = (2,\, -3,\, -6) \qquad \bigl|\vec u\bigr| = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7

El origen está en $r$ :

\;3\cdot0+2\cdot0 = 0

\checkmark

\;3\cdot0+0 = 0

\checkmark

r \equiv (x,y,z) = t\,(2,\,-3,\,-6)

a) El plano perpendicular a $r$ por $P(1,1,1)$ . Su normal es

\vec u

2\,(x-1)-3\,(y-1)-6\,(z-1) = 0

2x-2-3y+3-6z+6 = 0 \;\Longrightarrow\; 2x-3y-6z+7 = 0

Comprobación con

P

\;2-3-6+7 = 0

\;\checkmark

b) Los puntos a distancia $4$ del origen. Un punto genérico de

r

Q(t) = (2t,\; -3t,\; -6t)

\bigl|\vec{OQ}\bigr| = |t|\cdot\bigl|\vec u\bigr| = 7\,|t|

7\,|t| = 4 \;\Longrightarrow\; |t| = \frac47 \;\Longrightarrow\; t = \pm\frac47

Q_{1} = \left(\frac87,\; -\frac{12}{7},\; -\frac{24}{7}\right) \qquad Q_{2} = \left(-\frac87,\; \frac{12}{7},\; \frac{24}{7}\right)

Comprobación con

Q_{1}

\sqrt{\frac{64+144+576}{49}} = \sqrt{\frac{784}{49}} = \sqrt{16} = 4 \;\checkmark

(Y está en $r$ : $\;3\cdot\frac87+2\left(-\frac{12}{7}\right) = \frac{24-24}{7} = 0$ $\checkmark$ )

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Comprueba si el origen pertenece a la recta (términos independientes nulos): aquí convierte el apartado b) en una simple proporción, sin plantear ninguna raíz.

Que $\bigl|\vec u\bigr| = 7$ salga entero ( $4+9+36 = 49$ ) es una pista de que el enunciado está diseñado para eso. Aprovéchalo.

Hay dos puntos, uno a cada lado del origen. Del valor absoluto salen los dos signos: dar solo uno deja medio apartado sin hacer.