Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2011 · Reserva 5 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. [2,5 puntos] Considera los planos

\pi_{1}

\pi_{2}

\pi_{3}

dados respectivamente por las ecuaciones

3x-y+z-4 = 0, \qquad x-2y+z-1 = 0 \qquad \text{y} \qquad x+z-4 = 0

Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto

P(3,1,-1)

, es paralela al plano $\pi_{1}$ y corta a la recta intersección de los planos

\pi_{2}

\pi_{3}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r = \pi_{2}\cap\pi_{3}: \ \vec{u} = (-2,0,2)\sim(1,0,-1), \ \ Q(t) = \left(t,\tfrac32,4-t\right)\;}

\boxed{\;\vec{PQ} = \left(t-3,\; \tfrac12,\; 5-t\right)\;}

\boxed{\;\vec{PQ}\cdot(3,-1,1) = 2t-\tfrac92 = 0 \Rightarrow t = \tfrac94, \ Q\left(\tfrac94,\tfrac32,\tfrac74\right)\;}

\boxed{\;s\colon (x,y,z) = (3,1,-1)+\lambda\,(-3,2,11)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La recta buscada está determinada por dos condiciones sobre su director

\vec{w}

y un punto conocido

P

. La forma más corta es no parametrizar la recta buscada, sino su punto de corte:

Se parametriza $r = \pi_{2}\cap\pi_{3}$ , obteniendo $Q(t)$ .
La recta buscada es la que une $P$ con $Q(t)$ , así que $\vec{w} = \vec{PQ}$ .
"Paralela a $\pi_{1}$ " $\Rightarrow \vec{PQ}\cdot\vec{n_{1}} = 0$ : una ecuación con una incógnita.

Desarrollo

1) La recta $r = \pi_{2}\cap\pi_{3}$ . Los normales son

\vec{n_{2}} = (1,-2,1)

\vec{n_{3}} = (1,0,1)

\vec{u} = \vec{n_{2}}\times\vec{n_{3}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right| = (-2,\, 0,\, 2) \;\sim\; (1,\, 0,\, -1)

Un punto de $r$ . De

\pi_{3}

\;x+z = 4

. Sustituyendo en

\pi_{2}

x-2y+z = 1 \;\Longrightarrow\; 4-2y = 1 \;\Longrightarrow\; y = \frac32

Tomando

x = t

\;z = 4-t

Q(t) = \left(t,\; \frac32,\; 4-t\right)

(Comprobación en $\pi_{2}$ : $\;t-3+4-t-1 = 0$ $\checkmark$ ; en $\pi_{3}$ : $\;t+4-t-4 = 0$ $\checkmark$ )

2) El director de la recta buscada.

\vec{PQ} = Q-P = \left(t-3,\; \frac32-1,\; 4-t+1\right) = \left(t-3,\; \frac12,\; 5-t\right)

3) La condición de paralelismo con $\pi_{1}$ . El normal es

\vec{n_{1}} = (3,-1,1)

, y ser paralela al plano significa que el director es perpendicular al normal:

\vec{PQ}\cdot\vec{n_{1}} = 3\,(t-3)-\frac12+(5-t) = 3t-9-\frac12+5-t = 2t-\frac92 = 0

t = \frac94

El punto de corte.

Q = \left(\frac94,\; \frac32,\; 4-\frac94\right) = \left(\frac94,\; \frac32,\; \frac74\right)

El director.

\vec{PQ} = \left(\frac94-3,\; \frac12,\; \frac74+1\right) = \left(-\frac34,\; \frac12,\; \frac{11}{4}\right)

Multiplicando por

4

(los directores son proporcionales):

\vec{w} = (-3,\; 2,\; 11)

Comprobaciones.

\vec{w}\cdot\vec{n_{1}} = -9-2+11 = 0 \;\checkmark \quad \text{(paralela a } \pi_{1})

P(3,1,-1) \text{ en } \pi_{1}: \ 9-1-1-4 = 3 \neq 0 \;\checkmark \quad \text{(paralela, no contenida)}

La recta.

s \equiv (x,y,z) = (3,\,1,\,-1)+\lambda\,(-3,\,2,\,11)

s \equiv \frac{x-3}{-3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{11}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No busques el director "a ciegas". Parametriza el punto de corte con la recta dada: así la condición de paralelismo se convierte en una sola ecuación con el parámetro.

"Paralela a un plano" no es "perpendicular a él": se traduce en $\vec{w}\cdot\vec{n} = 0$ . Y conviene comprobar que $P$ no está en el plano, o la recta estaría contenida en él.

Los directores se pueden multiplicar por cualquier escalar: pasar de $\left(-\frac34,\frac12,\frac{11}{4}\right)$ a $(-3,2,11)$ deja la recta igual y hace la respuesta mucho más legible.