Opción B · Ejercicio 4. Se consideran los puntos A(0,-1,3), B(2,3,-1) y la recta r \equiv \frac{x+2}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3} a) [1,25 puntos] Halla un punto C de r de forma que el triángulo ABC sea rectángulo en A. b) [1,25 puntos] Calcula los puntos de r que equidistan de los puntos A y B.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2019 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Se consideran los puntos

A(0,-1,3)

B(2,3,-1)

y la recta

r \equiv \frac{x+2}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3}

a) [1,25 puntos] Halla un punto

C

r

de forma que el triángulo

ABC

sea rectángulo en

A

.

b) [1,25 puntos] Calcula los puntos de

r

que equidistan de los puntos

A

B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;C(t) = (-2+t,\; 2+2t,\; 3+3t), \qquad \vec{AB} = (2,4,-4)\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \vec{AB}\cdot\vec{AC} = 8 - 2t = 0 \;\Longrightarrow\; t = 4 \;\Longrightarrow\; C(2,\,10,\,15)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \lVert C-A\rVert^{2} = \lVert C-B\rVert^{2} \Rightarrow -4t = 20 \Rightarrow t = -5: \quad (-7,\,-8,\,-12)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados siguen el mismo esquema: parametrizar la recta y traducir la condición geométrica a una ecuación en el parámetro

t

a) "Rectángulo en $A$ " significa que el ángulo recto está en el vértice $A$ , es decir, $\vec{AB}\perp\vec{AC}$ . Se impone $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 0$ .
b) "Equidistan de $A$ y $B$ " significa $\lVert\vec{CA}\rVert = \lVert\vec{CB}\rVert$ . Para evitar raíces, se igualan los cuadrados de las distancias: los términos en $t^{2}$ se cancelan y queda una ecuación lineal.

Desarrollo

Parametrización de $r$ . Punto

R(-2,2,3)

, director

\vec{u} = (1,2,3)

C(t) = \bigl(-2 + t,\; 2 + 2t,\; 3 + 3t\bigr)

a) Condición de ángulo recto en $A$ .

\vec{AB} = B - A = (2 - 0,\; 3 + 1,\; -1 - 3) = (2,\, 4,\, -4)

\vec{AC} = C - A = \bigl(-2 + t,\; 3 + 2t,\; 3t\bigr)

\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 2\,(-2+t) + 4\,(3+2t) - 4\,(3t)

= -4 + 2t + 12 + 8t - 12t = 8 - 2t

8 - 2t = 0 \;\Longrightarrow\; t = 4

C = \bigl(-2+4,\; 2+8,\; 3+12\bigr) = (2,\, 10,\, 15)

(Comprobación: $\vec{AC} = (2, 11, 12)$ y $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 4 + 44 - 48 = 0\;\checkmark$ )

b) Puntos equidistantes de $A$ y $B$ . Igualamos los cuadrados de las distancias:

\bigl\lVert C - A\bigr\rVert^{2} = \bigl\lVert C - B\bigr\rVert^{2}

C - A = (-2+t,\; 3+2t,\; 3t) \;\Longrightarrow\; \lVert\cdot\rVert^{2} = (t-2)^{2} + (2t+3)^{2} + 9t^{2}

= \bigl(t^{2} - 4t + 4\bigr) + \bigl(4t^{2} + 12t + 9\bigr) + 9t^{2} = 14t^{2} + 8t + 13

C - B = (-4+t,\; -1+2t,\; 4+3t) \;\Longrightarrow\; \lVert\cdot\rVert^{2} = (t-4)^{2} + (2t-1)^{2} + (3t+4)^{2}

= \bigl(t^{2} - 8t + 16\bigr) + \bigl(4t^{2} - 4t + 1\bigr) + \bigl(9t^{2} + 24t + 16\bigr) = 14t^{2} + 12t + 33

Los términos cuadráticos se cancelan:

14t^{2} + 8t + 13 = 14t^{2} + 12t + 33 \;\Longrightarrow\; -4t = 20 \;\Longrightarrow\; t = -5

C' = \bigl(-2-5,\; 2-10,\; 3-15\bigr) = (-7,\, -8,\, -12)

Hay un único punto. Los puntos equidistantes de

A

B

forman el plano mediador del segmento

AB

; como la recta no es paralela a ese plano, lo corta en un solo punto.

(Comprobación: $\lVert C'-A\rVert^{2} = 14\cdot 25 - 40 + 13 = 323$ y $\lVert C'-B\rVert^{2} = 350 - 60 + 33 = 323\;\checkmark$ )

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Rectángulo en $A$ " fija dónde está el ángulo recto: los vectores que hay que hacer perpendiculares son $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ , ambos saliendo de $A$ . Si usas $\vec{BA}$ y $\vec{BC}$ estás imponiendo el ángulo recto en $B$ , que es otro problema.

En b), iguala los cuadrados de las distancias. Los términos en $t^{2}$ se cancelan siempre (porque $C$ recorre una recta) y la ecuación queda lineal. Trabajar con las raíces cuadradas es innecesariamente engorroso y propenso a errores.

Aunque el enunciado diga "los puntos", en plural, aquí solo hay uno: el corte de la recta con el plano mediador de $AB$ . Explicarlo así demuestra que entiendes la geometría detrás de la ecuación, no solo la cuenta.