Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2012 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. El punto

M(1,-1,0)

es el centro de un paralelogramo y

A(2,1,-1)

B(0,-2,3)

son dos vértices consecutivos del mismo.

a) [1 punto] Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo.

b) [1,5 puntos] Determina uno de los otros dos vértices y calcula el área de dicho paralelogramo.

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Resultado

\boxed{\;C = 2M-A = (0,-3,1), \qquad D = 2M-B = (2,0,-3)\;}

\boxed{\;\vec{AB} = (-2,-3,4), \quad \vec{AD} = (0,-1,-2), \quad \vec{n} = (10,-4,2)\sim(5,-2,1)\;}

\boxed{\;\text{a) } \pi \equiv 5x-2y+z-7 = 0\;}

\boxed{\;\text{b) Área} = \lVert(10,-4,2)\rVert = 2\sqrt{30} \approx 10{,}95 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La clave es que el centro es el punto medio de las dos diagonales. Si

A

B

son vértices consecutivos, sus opuestos son

C = 2M-A \qquad D = 2M-B

Con eso ya tenemos los cuatro vértices, y:

a) El plano contiene $\vec{AB}$ y $\vec{AD}$ (dos lados desde $A$ ); su normal es su producto vectorial.
b) El área del paralelogramo es $\;\bigl\lVert\vec{AB}\times\vec{AD}\bigr\rVert$ (sin el $\frac12$ , que es para el triángulo).

Desarrollo

Los vértices opuestos. El centro es el punto medio de

\overline{AC}

y de

\overline{BD}

C = 2M-A = (2-2,\; -2-1,\; 0+1) = (0,\, -3,\, 1)

D = 2M-B = (2-0,\; -2+2,\; 0-3) = (2,\, 0,\, -3)

El paralelogramo es

A(2,1,-1)

B(0,-2,3)

C(0,-3,1)

D(2,0,-3)

.

Los dos lados desde $A$ .

\vec{AB} = (-2,\, -3,\, 4) \qquad \vec{AD} = (0,\, -1,\, -2)

a) El plano.

\vec{n} = \vec{AB}\times\vec{AD} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & -2\end{array}\right|

\vec{i}: (-3)(-2)-(4)(-1) = 6+4 = 10

\vec{j}: -\bigl[(-2)(-2)-(4)(0)\bigr] = -4

\vec{k}: (-2)(-1)-(-3)(0) = 2

\vec{n} = (10,\, -4,\, 2) \;\sim\; (5,\, -2,\, 1)

Por

A(2,1,-1)

\;10-2-1+D = 0 \Rightarrow D = -7

\pi \equiv 5x-2y+z-7 = 0

Comprobaciones.

B(0,-2,3)

\;0+4+3-7 = 0\;\checkmark

;

\;C(0,-3,1)

\;0+6+1-7 = 0\;\checkmark

;

\;M(1,-1,0)

\;5+2+0-7 = 0\;\checkmark

b) El área del paralelogramo.

\text{Área} = \bigl\lVert\vec{AB}\times\vec{AD}\bigr\rVert = \lVert(10,-4,2)\rVert = \sqrt{100+16+4} = \sqrt{120} = 2\sqrt{30} \approx 10{,}95 \ \text{u}^{2}

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Consejo

El centro de un paralelogramo es el punto medio de las dos diagonales: de ahí $C = 2M-A$ y $D = 2M-B$ . Es la misma fórmula del simétrico respecto de un punto.

Los lados del paralelogramo son $\overline{AB}$ y $\overline{AD}$ (desde $A$ ), no $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$ : $C$ es el vértice opuesto a $A$ , y $\vec{AC}$ es una diagonal.

Área del paralelogramo $= \lVert\vec{AB}\times\vec{AD}\rVert$ , sin el factor $\frac12$ (ese es el del triángulo). Y comprueba que $M$ está en el plano: es una verificación gratuita.