Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2016 · Junio · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera las rectas

r

s

dadas por

r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 1 - \phantom{2}\lambda \\ z = 1\end{cases} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x + 2y = -1 \\ \phantom{x + 2y}z = -1\end{cases}

a) [1,5 puntos] Comprueba que ambas rectas son coplanarias y halla la ecuación del plano que las contiene.

b) [1 punto] Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en las rectas

r

s

, calcula su área.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{u} = \vec{v} = (2,-1,0) \;\Longrightarrow\; r \parallel s \;\Longrightarrow\; \text{coplanarias}\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \vec{n} = \vec{u}\times\vec{RS} \parallel (1,2,-2) \;\Longrightarrow\; x + 2y - 2z - 1 = 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \ell = d(r,s) = \frac{6}{\sqrt5}; \qquad \text{Área} = \ell^{2} = \frac{36}{5} = 7{,}2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Al calcular el director de

s

aparece la sorpresa del ejercicio: coincide con el de $r$ . Las rectas son paralelas, y dos rectas paralelas son siempre coplanarias: eso ya responde a la primera mitad de a).

Para el plano que las contiene, el normal no puede ser

\vec{u}\times\vec{v}

(sería el vector nulo): hay que usar

\vec{u}\times\vec{RS}

.

En b), si dos lados opuestos de un cuadrado están en dos rectas paralelas, el lado del cuadrado es exactamente la distancia entre las rectas. El área es esa distancia al cuadrado.

Desarrollo

Elementos de las rectas.

r: \quad R(1,\, 1,\, 1), \qquad \vec{u} = (2,\, -1,\, 0)

Para

s

, los normales son

\vec{m}_{1} = (1,2,0)

\vec{m}_{2} = (0,0,1)

\vec{v} = \vec{m}_{1}\times\vec{m}_{2} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right| = (2,\, -1,\, 0)

Un punto de

s

: con

y=0

queda

x = -1

, y

z = -1

S(-1,\, 0,\, -1)

a) Son paralelas (y por tanto coplanarias).

\vec{u} = \vec{v} = (2,-1,0)

Los directores coinciden, así que las rectas son paralelas. Y son distintas, porque

S(-1,0,-1)

no está en

r

(todos los puntos de

r

tienen

z=1

).

Dos rectas paralelas distintas siempre determinan un plano: son coplanarias.

(También se comprueba con el producto mixto: $\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{RS}\bigr] = 0$ , porque dos de los vectores son iguales.)

El plano que las contiene.

\vec{RS} = S - R = (-2,\, -1,\, -2)

\vec{n} = \vec{u}\times\vec{RS} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \phantom{-}2 & -1 & \phantom{-}0 \\ -2 & -1 & -2\end{array}\right|

\vec{i}: \; (-1)(-2) - (0)(-1) = 2 \qquad \vec{j}: \; -\bigl[(2)(-2) - (0)(-2)\bigr] = 4 \qquad \vec{k}: \; (2)(-1) - (-1)(-2) = -4

\vec{n} = (2,\, 4,\, -4) \;\parallel\; (1,\, 2,\, -2)

Ecuación, por

R(1,1,1)

1\,(x-1) + 2\,(y-1) - 2\,(z-1) = 0 \;\Longrightarrow\; x + 2y - 2z - 1 = 0

Comprobaciones.

R(1,1,1)

\;1+2-2-1 = 0\;\checkmark

;

S(-1,0,-1)

\;-1+0+2-1 = 0\;\checkmark

b) Área del cuadrado. Como los dos lados están en rectas paralelas, son lados opuestos del cuadrado, y su separación es el lado:

\ell = d(r,s) = \frac{\bigl\lVert\vec{RS}\times\vec{u}\bigr\rVert}{\bigl\lVert\vec{u}\bigr\rVert}

\vec{RS}\times\vec{u} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & -1 & -2 \\ \phantom{-}2 & -1 & \phantom{-}0\end{array}\right| = (-2,\, -4,\, 4)

\bigl\lVert\vec{RS}\times\vec{u}\bigr\rVert = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6, \qquad \bigl\lVert\vec{u}\bigr\rVert = \sqrt{4+1} = \sqrt5

\ell = \frac{6}{\sqrt5} = \frac{6\sqrt5}{5} \approx 2{,}68

\text{Área} = \ell^{2} = \frac{36}{5} = 7{,}2 \ \text{unidades cuadradas}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuando los directores coinciden, el producto vectorial $\vec{u}\times\vec{v}$ es nulo y no sirve como normal. Para el plano que contiene dos rectas paralelas hay que usar $\vec{u}\times\vec{RS}$ , con $\vec{RS}$ uniendo un punto de cada una.

Dos rectas paralelas distintas son automáticamente coplanarias: no hace falta calcular el producto mixto (aunque sale $0$ , claro). Argumentarlo así es más rápido y más elegante.

En b), el paso conceptual es ver que dos lados en rectas paralelas solo pueden ser lados opuestos del cuadrado, y entonces el lado es la distancia entre ellas. El área es esa distancia al cuadrado, no la distancia.