Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2011 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Dada la recta

r

definida por

\frac{x+7}{2} = \frac{y-7}{-1} = z

y la recta

s

definida por

s \equiv \begin{cases} x = 2 \\ y = -5 \\ z = \lambda\end{cases}

a) [1,75 puntos] Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a ambas.

b) [0,75 puntos] Calcula la distancia entre

r

s

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{u} = (2,-1,1), \ A(-7,7,0); \quad \vec{v} = (0,0,1), \ B(2,-5,0)\;}

\boxed{\;\vec{w} = \vec u\times\vec v = (-1,-2,0); \quad \pi_{A}\colon 2x-y-5z+21 = 0, \ \pi_{B}\colon 2x-y-9 = 0\;}

\boxed{\;p\colon \{2x-y = 9, \ z = 6\} \equiv (5,1,6)+\mu\,(1,2,0)\;}

\boxed{\;P(5,1,6)\in r, \ Q(2,-5,6)\in s; \quad d(r,s) = \bigl|\vec{PQ}\bigr| = 3\sqrt5 \approx 6{,}71\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La recta que corta perpendicularmente a

r

s

es la perpendicular común. Su director es

\vec{w} = \vec{u}\times\vec{v}

y se obtiene como intersección de dos planos:

$\pi_{A}$ : contiene a $r$ y a $\vec{w}$ ,
$\pi_{B}$ : contiene a $s$ y a $\vec{w}$ .

Para b), la distancia entre dos rectas que se cruzan es la longitud del segmento de la perpendicular común, o bien

d(r,s) = \frac{\bigl|\vec{AB}\cdot(\vec u\times\vec v)\bigr|}{\bigl|\vec u\times\vec v\bigr|}

Desarrollo

Datos.

r\colon \ \vec{u} = (2,\,-1,\,1), \quad A(-7,\,7,\,0) \qquad s\colon \ \vec{v} = (0,\,0,\,1), \quad B(2,\,-5,\,0)

El director de la perpendicular común.

\vec{w} = \vec{u}\times\vec{v} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right| = (-1,\, -2,\, 0)

(No es $\vec 0$ : las rectas no son paralelas.)

a) Los dos planos.

$\pi_{A}$ (contiene $r$ y $\vec w$ ). Normal:

\vec{n_{A}} = \vec{u}\times\vec{w} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & -2 & 0\end{array}\right| = (2,\, -1,\, -5)

Con

A(-7,7,0)

2\,(x+7)-1\,(y-7)-5z = 0 \;\Longrightarrow\; 2x-y-5z+21 = 0

$\pi_{B}$ (contiene $s$ y $\vec w$ ). Normal:

\vec{n_{B}} = \vec{v}\times\vec{w} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 0\end{array}\right| = (2,\, -1,\, 0)

Con

B(2,-5,0)

2\,(x-2)-1\,(y+5) = 0 \;\Longrightarrow\; 2x-y-9 = 0

La perpendicular común, a la que llamamos

p

(para no confundirla con el parámetro

t

r

p \equiv \begin{cases} 2x-y-5z+21 = 0 \\ 2x-y-9 = 0\end{cases}

Restando las dos ecuaciones:

\;-5z+30 = 0 \Rightarrow z = 6

. Es decir,

p \equiv \begin{cases} 2x-y = 9 \\ z = 6\end{cases}

Los pies. Punto genérico de

r

\;P(t) = (-7+2t,\; 7-t,\; t)

. En

\pi_{B}

2\,(-7+2t)-(7-t)-9 = -14+4t-7+t-9 = 5t-30 = 0 \;\Longrightarrow\; t = 6

P = (5,\, 1,\, 6)

Punto genérico de

s

\;Q(\lambda) = (2,-5,\lambda)

. En

\pi_{A}

4+5-5\lambda+21 = 30-5\lambda = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = 6 \;\Longrightarrow\; Q = (2,\,-5,\,6)

p \equiv (x,y,z) = (5,\,1,\,6)+\mu\,(1,\,2,\,0)

Comprobación:

\;\vec{PQ} = (-3,-6,0) = -3\,(1,2,0)

, paralelo a

\vec w

\;\checkmark

b) La distancia.

d(r,s) = \bigl|\vec{PQ}\bigr| = \sqrt{9+36+0} = \sqrt{45} = 3\sqrt5 \approx 6{,}71

Comprobación con la fórmula.

\;\vec{AB} = B-A = (9,-12,0)

\vec{AB}\cdot\vec{w} = -9+24+0 = 15 \qquad \bigl|\vec{w}\bigr| = \sqrt{1+4} = \sqrt5

d(r,s) = \frac{|15|}{\sqrt5} = \frac{15}{\sqrt5} = 3\sqrt5 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La perpendicular común se define como intersección de dos planos, cada uno con una recta y el vector $\vec w$ . Intentar imponer las dos perpendicularidades a mano lleva a un sistema mucho más pesado.

Ojo con el orden de los productos vectoriales: $\vec{n_A} = \vec u\times\vec w$ (los dos vectores del plano), no $\vec u\times\vec v$ otra vez.

Haz b) de las dos formas: como $|\vec{PQ}|$ y con la fórmula del producto mixto. Que coincidan valida a la vez los pies y los planos del apartado anterior.