Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2022 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 7 (bloque B). Considera el plano

\pi \equiv x + y + z = 0

y la recta

r \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 0 \end{cases}

a) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano perpendicular a

\pi

que contiene a

r

.

b) [1,25 puntos] Calcula la distancia entre

r

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r \text{ es paralela a } \pi \text{ y no está contenida en él}\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \pi' \equiv x + y - 2z - 1 = 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad d(r, \pi) = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}58\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Antes de nada conviene comprobar la posición relativa de

r

\pi

, porque decide los dos apartados:

\vec{d}_{r}\cdot\vec{n}_{\pi} = 0 \;\Longrightarrow\; r \text{ es paralela a } \pi \text{ (o está contenida en él)}

y basta ver si un punto de

r

cumple la ecuación del plano para distinguir los dos casos. Aquí resulta que

r

es paralela y no contenida, así que la distancia del apartado b) es un número no nulo y se calcula tomando cualquier punto de

r

.

En a), un plano perpendicular a

\pi

tiene que contener la dirección

\vec{n}_{\pi}

; si además contiene a

r

, contiene

\vec{d}_{r}

. Dos direcciones y un punto: producto vectorial y listo.

Desarrollo

Datos.

r: \quad R(0, 1, 0), \qquad \vec{d}_{r} = (1, -1, 0)

\pi: \quad \vec{n}_{\pi} = (1, 1, 1)

Posición relativa.

\vec{d}_{r}\cdot\vec{n}_{\pi} = 1 - 1 + 0 = 0

luego

r

es paralela al plano o está contenida en él. Comprobando con el punto

R(0,1,0)

0 + 1 + 0 = 1 \neq 0

R

no pertenece a

\pi

, así que

r

es estrictamente paralela a

\pi

.

a) El plano perpendicular. Debe contener a

r

(punto

R

y dirección

\vec{d}_{r}

) y ser perpendicular a

\pi

, lo que equivale a que contenga la dirección

\vec{n}_{\pi}

\vec{n} = \vec{d}_{r} \times \vec{n}_{\pi} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|

= \bigl(-1\cdot 1 - 0\cdot 1\bigr)\vec{i} - \bigl(1\cdot 1 - 0\cdot 1\bigr)\vec{j} + \bigl(1\cdot 1 + 1\cdot 1\bigr)\vec{k} = (-1,\, -1,\, 2)

Imponiendo el paso por

R(0,1,0)

-1\,(x - 0) - 1\,(y - 1) + 2\,(z - 0) = 0 \;\Longrightarrow\; -x - y + 1 + 2z = 0

\pi' \equiv x + y - 2z - 1 = 0

Comprobaciones.

Contiene a $r$ : el punto $R(0,1,0)$ da $0 + 1 - 0 - 1 = 0\;\checkmark$ , y la dirección cumple $\vec{d}_{r}\cdot(1,1,-2) = 1 - 1 - 0 = 0\;\checkmark$ .
Es perpendicular a $\pi$ : $\;(1,1,-2)\cdot(1,1,1) = 1 + 1 - 2 = 0\;\checkmark$ .

b) Distancia. Como

r

es paralela a

\pi

, la distancia entre ambos es la de cualquier punto de

r

al plano. Tomando

R(0,1,0)

d(r, \pi) = d(R, \pi) = \frac{\bigl|0 + 1 + 0\bigr|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577

(Se puede comprobar con otro punto de $r$ , por ejemplo $\lambda = 5$ , es decir $(5, -4, 0)$ : $\;|5 - 4 + 0|/\sqrt{3} = 1/\sqrt{3}$ . El mismo valor, como debe ser al ser paralelas.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Hablar de "la distancia entre una recta y un plano" solo tiene sentido si son paralelos. Comprueba $\vec{d}_{r}\cdot\vec{n} = 0$ antes de calcular nada: si no se anulara, se cortarían y la distancia sería $0$ . Y comprueba también que la recta no esté contenida en el plano, porque entonces la distancia también sería $0$ .

En a), "perpendicular a $\pi$ " significa que el nuevo plano contiene la normal de $\pi$ , no que su normal sea la de $\pi$ . Es la confusión más común: los dos planos son perpendiculares cuando sus normales lo son, y eso equivale a que cada uno contenga la normal del otro.